Question

【題目】（11分）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BE．

（1）如圖①，求證：∠AFD=∠EBC；

（2）如圖②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度數(shù)；

（3）若∠DAB=90°且當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求∠EFB的度數(shù)（只寫出條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）60°；（3）30°或120°．

【解析】

試題（1）利用“SAS”得出△DCE≌△BCE，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合垂直的定義得出∠DAB的度數(shù)；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，②當(dāng)F在線段AB上時(shí)，分別求出即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴DC=CB，在△DCE和△BCE中，∵DC=CB，∠DCE=∠BCE，EC=EC，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠EDC=∠EBC，∵DC∥AB，∴∠EDC=∠AFD，∴∠AFD=∠EBC；

（2）∵DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，設(shè)∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，則∠CBF=2x°，由BE⊥AF得：2x+x=90°，解得：x=30°，∴∠DAB=∠CBF=60°；

（3）分兩種情況：①如圖1，當(dāng)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠EBF為鈍角，∴只能是BE=BF，設(shè)∠BEF=∠BFE=x°，則：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；

②如圖2，當(dāng)F在線段AB上時(shí)，

∵∠EFB為鈍角，∴只能是FE=FB，設(shè)∠BEF=∠EBF=x°，則有∠AFD=2x°，可證得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°，

綜上所述：∠EFB=30°或120°．