Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P在AB上，AP=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t/秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是______．當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是______．
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，可得，EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長(zhǎng)；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當(dāng)0＜t≤時(shí)；②當(dāng)＜t≤時(shí)；③當(dāng)＜t≤2時(shí)；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)t的取值范圍分別進(jìn)行分析得出最值，即可得出面積最大值．
解答：解：（1）當(dāng)時(shí)t=1時(shí)，則PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)是2；
當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)是4．
故答案為：2，4；

（2）當(dāng)正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀為正方形時(shí)，0＜t≤，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=2t×2t=4t²；
當(dāng)t=時(shí)EFGM是梯形，
故當(dāng)＜t≤時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=4t²-[2t-（2-t）]×[2t-（2-t）]，
=-t²+t-；
當(dāng)＜t≤2時(shí)；
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=（t+2）×（t+2）-×（2-t）（2-t），
=3t；

（3）由（2）知：當(dāng)0＜t≤時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=2t×2t=4t²=；
當(dāng)＜t≤時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=-t²+t-=；
當(dāng)＜t≤2時(shí)；
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=3t=6；
觀察正方形與三角形的重疊面積隨t值變化情況，容易得到只有當(dāng)≤t≤時(shí)，S才有可能取到最大值．
左上角三角形面積為：t²-t+，
右上角三角形面積為：t²-t+，
∵由題（1）知，當(dāng)t＞2時(shí)，正方形邊長(zhǎng)保持為4，
∴S=S正方形-S左上角三角形-S右上角三角形
=-t²+t-，
=-（t-）²+
∴綜上所述，當(dāng)t=時(shí)S有最大值，為．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題，其中應(yīng)用到了相似形、正方形及勾股定理的性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力．