Question

(本題12分)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

【小題1】（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
【小題2】（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動時（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
【小題3】（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
【小題4】（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使上△OAC的兩個頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個頂點(diǎn)，第三個頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過程）．

Answer 1

【小題1】（1）y=a（x+1）（x﹣2），∵﹣2=a×1×（﹣2），∴a=1，∴y=x²﹣x﹣2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，﹣）
【小題2】（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為：y=kx+b，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（h，﹣t），
則0=2k+b，﹣，解它們組成的方程組得：k=，b=﹣3，
所以線段BM所在的直線的解析式為：y=x﹣3，N點(diǎn)縱坐標(biāo)為：﹣t，
∴﹣t=h﹣3，∴h=2﹣t，其中，∴s=（2+t）（2﹣t）=﹣t²+t+3，
∴s與t間的函數(shù)解析式為：s=﹣t²+t+3，自變量的取值圍是：；
【小題3】（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是：P₁（，），P₂（）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，n），則 n=m²﹣m﹣2，PA²=（m+1）²+n²,PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：（ⅰ）若∠APC=90°則AC²=PC²+AP²．可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，解得：，m₂=﹣1（舍去）．所以點(diǎn)．（ⅱ）若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²∴n=m²﹣m﹣2（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5解得：，m₄=0（舍去）．所以點(diǎn)P₂（，﹣）．
（ⅲ）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能直角
【小題4】（4）P₁（﹣1，﹣2）或P₂（﹣），（，﹣）解析:
略