【題目】(定義)如圖1,A,B為直線l同側(cè)的兩點,過點A作直線1的對稱點A′,連接A′B交直線l于點P,連接AP,則稱點P為點A,B關(guān)于直線l的“等角點”.

(運用)如圖2,在平面直坐標(biāo)系xOy中,已知A(2,),B(﹣2,﹣)兩點.

(1)C(4,),D(4,),E(4,)三點中,點   是點A,B關(guān)于直線x=4的等角點;

(2)若直線l垂直于x軸,點P(m,n)是點A,B關(guān)于直線l的等角點,其中m>2,∠APB=α,求證:tan=

(3)若點P是點A,B關(guān)于直線y=ax+b(a≠0)的等角點,且點P位于直線AB的右下方,當(dāng)APB=60°時,求b的取值范圍(直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)C(2)(3)b<﹣且b≠﹣2或b

【解析】

(1)先求出B關(guān)于直線x=4的對稱點B′的坐標(biāo),根據(jù)A、B′的坐標(biāo)可得直線AB′的解析式,把x=4代入求出P點的縱坐標(biāo)即可得答案;(2)如圖:過點A作直線l的對稱點A′,連A′B′,交直線l于點P,BHl于點H,根據(jù)對稱性可知∠APG=A′PG,由∠AGP=BHP=90°可證明△AGP∽△BHP,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得m=

根據(jù)外角性質(zhì)可知∠A=A′=RtAGP中,根據(jù)正切定義即可得結(jié)論;(3)當(dāng)點P位于直線AB的右下方,∠APB=60°時,點P在以AB為弦,所對圓周為60°,且圓心在AB下方若直線y=ax+b(a≠0)與圓相交,設(shè)圓與直線y=ax+b(a≠0)的另一個交點為Q

根據(jù)對稱性質(zhì)可證明△ABQ是等邊三角形,即點Q為定點,若直線y=ax+b(a≠0)與圓相切,易得P、Q重合,所以直線y=ax+b(a≠0)過定點Q,OQ,過點A、Q分別作AMy軸,QNy軸,垂足分別為M、N,可證明△AMO∽△ONQ,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得ON、NQ的長即可得Q點坐標(biāo),根據(jù)A、B、Q的坐標(biāo)可求出直線AQ、BQ的解析式,根據(jù)PA、B重合時b的值求出b的取值范圍即可.

1)點B關(guān)于直線x=4的對稱點為B′(10,﹣),

∴直線AB′解析式為:y=﹣,

當(dāng)x=4時,y=,

故答案為:C

(2)如圖,過點A作直線l的對稱點A′,連A′B′,交直線l于點P

BHl于點H

∵點AA′關(guān)于直線l對稱

∴∠APG=A′PG

∵∠BPH=A′PG

∴∠APG=BPH

∵∠AGP=BHP=90°

∴△AGP∽△BHP

,即,

mn=2,即m=,

∵∠APB=α,AP=AP′,

∴∠A=A′=,

RtAGP中,tan

(3)如圖,當(dāng)點P位于直線AB的右下方,∠APB=60°時,

P在以AB為弦,所對圓周為60°,且圓心在AB下方

若直線y=ax+b(a≠0)與圓相交,設(shè)圓與直線y=ax+b(a≠0)的另一個交點為Q

由對稱性可知:∠APQ=A′PQ,

又∠APB=60°

∴∠APQ=A′PQ=60°

∴∠ABQ=APQ=60°,AQB=APB=60°

∴∠BAQ=60°=AQB=ABQ

∴△ABQ是等邊三角形

∵線段AB為定線段

∴點Q為定點

若直線y=ax+b(a≠0)與圓相切,易得P、Q重合

∴直線y=ax+b(a≠0)過定點Q

OQ,過點A、Q分別作AMy軸,QNy軸,垂足分別為M、N

A(2,),B(﹣2,﹣

OA=OB=

∵△ABQ是等邊三角形

∴∠AOQ=BOQ=90°,OQ=,

∴∠AOM+NOD=90°

又∵∠AOM+MAO=90°,NOQ=MAO

∵∠AMO=ONQ=90°

∴△AMO∽△ONQ

,

,

ON=2,NQ=3,Q點坐標(biāo)為(3,﹣2

設(shè)直線BQ解析式為y=kx+b

B、Q坐標(biāo)代入得

,

解得

,

∴直線BQ的解析式為:y=﹣,

設(shè)直線AQ的解析式為:y=mx+n,

A、Q兩點代入,

解得

∴直線AQ的解析式為:y=﹣3,

若點PB點重合,則直線PQ與直線BQ重合,此時,b=﹣

若點P與點A重合,則直線PQ與直線AQ重合,此時,b=

又∵y=ax+b(a≠0),且點P位于AB右下方,

b<﹣ b≠﹣2b>.

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治理楊絮一一您選哪一項?(單選)

A.減少楊樹新增面積,控制楊樹每年的栽種量

B.調(diào)整樹種結(jié)構(gòu),逐漸更換現(xiàn)有楊樹

C.選育無絮楊品種,并推廣種植

D.對雌性楊樹注射生物干擾素,避免產(chǎn)生飛絮

E.其他

根據(jù)以上統(tǒng)計圖,解答下列問題:

(1)本次接受調(diào)查的市民共有  人;

(2)扇形統(tǒng)計圖中,扇形E的圓心角度數(shù)是   ;

(3)請補全條形統(tǒng)計圖;

(4)若該市約有90萬人,請估計贊同選育無絮楊品種,并推廣種植的人數(shù).

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