【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于A、B兩點(diǎn)(AB點(diǎn)左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=OA=2,OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D(點(diǎn)D在第一象限);

1)求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在x軸上存在一點(diǎn)N,使得A、D、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)P,使得BPD的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=x2+x+3,(2,2);(2)(1,2)或(2)或(,2);(3)存在,( , ).

【解析】1)由于AB關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,根據(jù)對(duì)稱軸方程求出B點(diǎn)的坐標(biāo),然后將它們代入拋物線的解析式可求出待定系數(shù)的值;OD平分∠BOC,那么直線OD的解析式為y=x,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo);

2)分兩種情況討論:①以AD為對(duì)角線的平行四邊形AMDN,此時(shí)MDx軸,則MD的縱坐標(biāo)相同,由此可求得M點(diǎn)的坐標(biāo);②以AD為邊的平行四邊形ADNM,由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,可求得ADM≌△ADN,即M、N縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等,可據(jù)此求出M點(diǎn)的坐標(biāo);

3)由于BD的長(zhǎng)為定值,若BPD的周長(zhǎng)最短,那么PB+PD應(yīng)該最短,由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,連接AD,直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn),可用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1OA=2

A﹣2,0).

AB關(guān)于直線x=對(duì)稱,

B3,0),

A、B,兩點(diǎn)在拋物線y=x2+bx+c上,

解得;

∴拋物線的解析式為y=x2+x+3

DDEx軸于E

∵∠BOC=90°OD平分∠BOC,

∴∠DOB=45°ODE=45°,

DE=OE,即xD=yD,

x=x2+x+3,

解得x1=2,x2=﹣3(舍去),

D2,2);

2)分兩種情況討論:

①當(dāng)AD為平行四邊形AMDN的對(duì)角線時(shí),

MDAN,即MDx軸,

yM=yD

MD關(guān)于直線x=對(duì)稱,

M﹣12);

②當(dāng)AD為平行四邊形ADNM的邊時(shí),

∵平行四邊形ADNM是中心對(duì)稱圖形,AND≌△ANM,

|yM|=|yD|,即yM=﹣yD=﹣2,

∴令﹣x2+x+3=2,即x2x10=0;

解得x=,

M2)或M,2).

綜上所述:滿足條件的M點(diǎn)有3個(gè),即M1,2)或M2)或M,2);

3BD為定值,

∴要使BPD的周長(zhǎng)最小,只需PD+PB最小.

AB關(guān)于直線x=對(duì)稱,

PB=PA,只需PD+PA最。

連接AD,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,此時(shí)PD+PA最小.

A2,0),D2,2)可得直線ADy=x+1

x=,得y=

∴存在點(diǎn)P, ),使BPD的周長(zhǎng)最。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】有一條長(zhǎng)度為 a 的線段.

1)如圖①,以該線段為直徑畫一個(gè)圓,該圓的周長(zhǎng) C1 = ;如圖②,分別以該線段的一半為直 徑畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的和 C2 = (都用含 a 的代數(shù)式表示,結(jié)果保留

2)如圖③,在該線段上任取一點(diǎn),再分別以兩條小線段為直徑畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的和為 C3 ,探索 C1 C3 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由。

3)如圖④,當(dāng) a =10 時(shí),以該線段為直徑畫一個(gè)大圓,再在大圓內(nèi)畫若干個(gè)小圓,這些小圓的直徑都和 大圓的直徑在同一條直線上,且小圓的直徑的和等于大圓的直徑,那么圖中所有圓的周長(zhǎng)的和為 (結(jié) 果保留

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】根據(jù)要求畫圖,并回答問題.

已知:直線ABCD相交于點(diǎn)O,且OEAB

(1)過點(diǎn)O畫直線MNCD;

(2)若點(diǎn)F(1)中所畫直線MN上任意一點(diǎn)(O點(diǎn)除外),若AOC=35°,求EOF的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】學(xué)校通過初評(píng)決定最后從甲、乙、丙三個(gè)班中推薦一個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體,下表是三個(gè)班的五項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)得分表。

五項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)得分表(單位:分)

班級(jí)

行為規(guī)范

學(xué)習(xí)成績(jī)

校運(yùn)動(dòng)會(huì)

藝術(shù)獲獎(jiǎng)

勞動(dòng)衛(wèi)生

甲班

10

10

6

10

7

乙班

10

8

8

9

8

丙班

9

10

9

6

9

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的信息回答下列問題:

1)請(qǐng)你補(bǔ)全五項(xiàng)成績(jī)考評(píng)分析表中的數(shù)據(jù):

班級(jí)

平均分

眾數(shù)

中位數(shù)

甲班

8.6

10

乙班

8.6

8

丙班

9

9

2)參照上表中的數(shù)據(jù),你推薦哪個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體?并說明理由。

3)如果學(xué)校把行為規(guī)范、學(xué)習(xí)成績(jī)、校運(yùn)動(dòng)會(huì)、藝術(shù)獲獎(jiǎng)、勞動(dòng)衛(wèi)生五項(xiàng)考評(píng)成績(jī)按照32113的比確定班級(jí)的綜合成績(jī),學(xué)生處的李老師根據(jù)這個(gè)綜合成績(jī),繪制了一幅不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)將這個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整,按照這個(gè)成績(jī),應(yīng)推薦哪個(gè)班為縣級(jí)先進(jìn)班集體?為什么?

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【題目】健身運(yùn)動(dòng)已成為時(shí)尚,某公司計(jì)劃組裝A、B兩種型號(hào)的健身器材共40套,捐給社區(qū)健身中心. 組裝一套A型健身器材需甲種部件7個(gè)和乙種部件4個(gè),組裝一套B型健身器材需甲種部件3個(gè)和乙種部件6個(gè).公司現(xiàn)有甲種部件240個(gè),乙種部件196個(gè).

(1)公司在組裝A、B兩種型號(hào)的健身器材時(shí),共有多少種組裝方案?

(2)組裝一套A型健身器材需費(fèi)用20元,組裝一套B型健身器材需費(fèi)用18元,求總組裝費(fèi)用最少的組裝方案,最少總組裝費(fèi)用是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(1,m)、B兩點(diǎn),與x 軸、y軸分別相交于C(4,0)、D兩點(diǎn).

(1)求直線y=kx+b的解析式;

(2)連接OA、OB,求AOB的面積;

(3)直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b<的解集是   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB⊙O的直徑,BD⊙O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使DCBD,連接AC,過點(diǎn)DDE⊥AC,垂足為E.

(1)求證:ABAC

(2)⊙O的半徑為4,∠BAC60°,求DE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算:

1)(x2y-2xy+y2)(-4xy);

26mn2(2mn4)(mn3)2

3-4x2·xy-y2-3x·xy2-2x2y);

4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,將△MNP的三邊分別向兩邊延長(zhǎng),并在每?jī)蓷l延長(zhǎng)線上任取兩點(diǎn)連接起來,又得到了三個(gè)新的三角形.求證:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F360°.

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