Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，連接、、，線段交軸于點(diǎn)，已知實(shí)數(shù)、分別是方程的兩根.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸右側(cè)），連接、.

①求面積的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；（2）①△OBD面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)D（）；②點(diǎn)P（）或（）或（）

【解析】

（1）解方程即可求得A和B的坐標(biāo)，代入即可求得拋物線的解析式；

（2）①過(guò)D作DG⊥x軸于G，交OB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，用d表示D點(diǎn)和Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，可得S和d的關(guān)系式，進(jìn)而可得的最大值以及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；②求出直線AB的解析式，即可得OC的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P（p,-p）對(duì)△OPC為等腰三角形的情況分類討論：（1）OP=OC；（2）OP=PC，；（3）OC=PC，分別根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及線段垂直平分線的性質(zhì)求出p的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）∵

∴

又m<n

∴m=-1，n=3

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)O（0,0）

所以將A（-1，-1），B（3，-3）代入拋物線解析式中，

可得

解得

∴拋物線的解析式為：.

（2）①如下圖所示，過(guò)D作DG⊥x軸于G，交OB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，

設(shè)點(diǎn)D（d，），

易得直線OB的解析式為：y=-x

∴Q（d,-d）

∴

=

=

=

=

=

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，此時(shí)D（）

故△OBD面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)D（）.

②設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A（-1，-1），B（3，-3）代入得：

，解得

∴直線AB的解析式為：

令x=0得：y=

∴OC=

同理可知直線OB的解析式為：y=-x

∴設(shè)點(diǎn)P（p,-p）且p>0

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式對(duì)△OPC為等腰三角形的情況分類討論：

（1）OP=OC，∴OP=

∴p=（舍去）或p=

∴點(diǎn)P（）

（2）OP=PC，∴P在線段OC中垂線上

∴P的縱坐標(biāo)為

又點(diǎn)P在OB上

∴P（）

（3）OC=PC，∴PC=

解得：p=0（舍去）或p=

∴點(diǎn)P（）

綜上所述：點(diǎn)P（）或（）或（）.