Question

【題目】如圖1，過原點的拋物線與軸交于另一點，拋物線頂點的坐標為，其對稱軸交軸于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點為拋物線上位于第一象限內(nèi)且在對稱軸右側(cè)的一個動點，求使面積最大時點的坐標；

（3）在對稱軸上是否存在點，使得點關于直線的對稱點滿足以點、、、為頂點的四邊形為菱形.若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或

【解析】

（1）設出拋物線的頂點式，將頂點C的坐標和原點坐標代入即可；

（2）先求出點A的坐標，再利用待定系數(shù)法求出AC的解析式，過點作軸交于點，設，則，然后利用“鉛垂高，水平寬”即可求出面積與m的關系式，利用二次函數(shù)求最值，即可求出此時點D的坐標；

（3）先證出為等邊三角形，然后根據(jù)P點的位置和菱形的頂點順序分類討論：①當點與點重合時，易證：四邊形是菱形，即可求出此時點P的坐標；②作點關于軸的對稱點，當點與點重合時，易證：四邊形是菱形，先求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出BP，從而求出此時點P的坐標.

（1）解：設拋物線解析式為，

∵頂點

∴

又∵圖象過原點

∴解出：

∴即

（2）令，即，解出：或

∴

設直線AC的解析式為y=kx＋b

將點，的坐標代入，可得

解得：

∴

過點作軸交于點，

設，則

∴

∴

∴當時，有最大值

當時，

∴

（3）∵，，

∴

∴

∴為等邊三角形

①當點與點重合時，

∴四邊形是菱形

∴

②作點關于軸的對稱點，當點與點重合時，

∴四邊形是菱形

∴點是的角平分線與對稱軸的交點，

∴，

∵，.

在Rt△OBP中，

∴

綜上所述，點的坐標為或