【題目】已知,如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D為AB邊上一點.
(1)求證:△ACE≌△BCD;
(2)求證:2CD2=AD2+DB2.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)本題要判定△ACE≌△BCD,已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,則DC=EA,AC=BC,∠ACB=∠ECD,又因為兩角有一個公共的角∠ACD,所以∠BCD=∠ACE,根據(jù)SAS得出△ACE≌△BCD.
(2)由(1)的論證結(jié)果得出∠DAE=90°,AE=DB,從而求出AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.
證明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△AEC≌△BDC(SAS);
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45度.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
∴AD2+AE2=DE2.
由(1)知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.
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【題目】如圖,直線y=0.5x+b分別交x軸、y軸于點A、C,點P是直線AC與雙曲線y=kx-1在第一象限內(nèi)的交點,PB⊥x軸,垂足為點B,且OB=2,PB=4.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△APB的面積;
(3)求在第一象限內(nèi),當x取何值時一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值?
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【題目】已知在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如圖1,若BE平分∠ABC,DF平分∠ADC的鄰補角,請寫出BE與DF的位置關(guān)系,并證明.
(2)如圖2,若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角,判斷DE與BF位置關(guān)系并證明.
(3)如圖3,若BE、DE分別六等分∠ABC、∠ADC的鄰補角(即∠CBE=∠CBM,∠CDE=∠CDN),則∠E= .
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【題目】在平面直角坐標系中,點A、B、C的坐標分別為,,,點P,Q是邊上的兩個動點點P不與點C重合,以P,O,Q為頂點的三角形與全等,則滿足條件的點P的坐標為______.
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【題目】在徐匯區(qū)開展“創(chuàng)建全國文明城區(qū)”期間,某工程隊承擔了某小區(qū)900米長的污水管道改造任務(wù),工程隊在改造完180米管道后,引進了新設(shè)備,每天的工作效率比原來提高了20%,結(jié)果共用30天完成了任務(wù),問引進新設(shè)備后工程隊每天改造管道多少米?
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1、l2之間的距離為2,l2、l3之間的距離為3,則AC的長是_________;
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【題目】如圖,一張長方形紙片寬AB=DC=8 cm,長BC=AD=10 cm,∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°.現(xiàn)將紙片折疊,使頂點D落在BC邊上的點F處(折痕為AE),求EC的長.
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【題目】已知k為非負實數(shù),關(guān)于x的方程x2﹣(k+1)x+k=0和kx2﹣(k+2)x+k=0.
(1)試證:前一個方程必有兩個非負實數(shù)根;
(2)當k取何值時,上述兩個方程有一個相同的實數(shù)根.
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【題目】一個不透明的袋中裝有20個只有顏色不同的球,其中5個黃球,8個黑球,7個紅球.
(1)求從袋中摸出一個球是黃球的概率;
(2)現(xiàn)從袋中取出若干個黑球,攪勻后,使從袋中摸出一個黑球的概率是,求從袋中取出黑球的個數(shù).
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