Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)，作垂直于軸于點(diǎn)，連接，且，，將沿軸向右平移個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求的值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)第一次落在拋物線上時(shí)記為點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或9；（3）存在，或或，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)由的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)根據(jù)題意可求得點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)平移后的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,代入拋物線解析式可求得點(diǎn)的坐標(biāo),則可求得平移的單位,可求得的值;
(3)由(2)可求得E點(diǎn)坐標(biāo),連接交對(duì)稱軸于點(diǎn),過(guò)作軸于點(diǎn),當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí),過(guò)作對(duì)稱軸的垂線,垂足為,則可證得,可求得,即可求得到對(duì)稱軸的距離,則可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)為對(duì)角線時(shí),由的坐標(biāo)可求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo),設(shè),由點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）

（2），且，∴且，∴

設(shè)平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，則、點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8

代入拋物線得∴，

∴或

∵，∴當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，向右平移了7或9個(gè)單位

∴或9

（3）∵拋物線對(duì)稱軸為

∴可設(shè)，由（2）可知

①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，連接交對(duì)稱軸于，過(guò)作軸于

當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，過(guò)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，如圖

則

可知，∴

設(shè)，則

∴，或

∴或

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)

∵，

∴線段的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)為

設(shè)，且

∴，得

把代人拋物線可得

∴

∴或或