Question

【題目】如圖，在△ABC中，5AB=6AC，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EF⊥AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點(diǎn)H．若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則的值為 ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

試題分析：利用角平分線的性質(zhì)，得到BD=CD，延長(zhǎng)AC，構(gòu)造一對(duì)全等三角形△ABD≌△AMD；過點(diǎn)M作MN∥AD，構(gòu)造平行四邊形DMNG．由MD=BD=KD=CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關(guān)系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD為角平分線，則點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，設(shè)為h．

∵====，

∴BD=CD．

如右圖，延長(zhǎng)AC，在AC的延長(zhǎng)線上截取AM=AB，則有AC=4CM．連接DM．

在△ABD與△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD=BD=CD．

過點(diǎn)M作MN∥AD，交EG于點(diǎn)N，交DE于點(diǎn)K．

∵MN∥AD，

∴==，

∴CK=CD，

∴KD=CD．

∴MD=KD，即△DMK為等腰三角形，

∴∠DMK=∠DKM．

由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1=∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3=∠4=∠1=∠2，

又∵∠DKM=∠3（對(duì)頂角）

∴∠DMK=∠4，

∴DM∥GN，

∴四邊形DMNG為平行四邊形，

∴MN=DG=2FD．

∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，AC=5CM，

∴=．

∵MN∥AD，

∴=，即=，

∴=．

故答案為．