【題目】如圖,已知拋物線y=-x2+bx+c與y軸相交于點A(0,3),與x正半軸相交于點B,對稱軸是直線x=1.

(1)求此拋物線的解析式以及點B的坐標;

(2)動點M從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動,同時動點N從點O出發(fā),以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動,當N點到達A點時,M,N同時停止運動.過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q,交拋物線于點P,設運動的時間為t秒,當t為何值時,四邊形OMPN為矩形.

【答案】（1）y=-x2+2x+3，B點坐標為(3,0).（2）t的值為1.

【解析】

（1）根據(jù)對稱軸求出b的值，把A點坐標代入求出c的值即可；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得ON=PM，列方程求出t的值即可.

(1)因為拋物線y=-x2+bx+c對稱軸是直線x=1,

所以-=1,

解得b=2.

因為拋物線過A(0,3),

所以c=3.

所以拋物線解析式為y=-x2+2x+3.

令y=0,得-x2+2x+3=0,

解得x1=-1,x2=3.

所以B點坐標為(3,0).

(2)由題意可知ON=3t,OM=2t,

因為P在拋物線上,

所以P(2t,-4t2+4t+3).

因為四邊形OMPN為矩形,

所以ON=PM.

所以3t=-4t2+4t+3.

解得t1=1或t2=-(不合題意,舍去),

所以當t的值為1時,四邊形OMPN為矩形.

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