【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=2x+4分別交x軸,y軸于點A,C,點D(m,2)在直線AC上,點B在x軸正半軸上,且OB=3OC.點E是y軸上任意一點記點E為(0,n).
(1)求點D的坐標及直線BC的解析式;
(2)連結DE,將線段DE繞點D按順時針旋轉90°得線段DG,作正方形DEFG,是否存在n的值,使正方形的頂點F落在△ABC的邊上?若存在,求出所有滿足條件的n的值;若不存在,說明理由.
(3)作點E關于AC的對稱點E’,當n為何值時,A E’分別于AC,BC,AB垂直?
【答案】
(1)
解:由直線y=2x+4,
當x=0時,y=4,則C(0,4);
當y=0時,x=-2,則A(-2,0);
∵D(m,2)在直線y=2x+4上,則2x+4=2,即D(-1,2);
∵C(0,4),OB=3OC.
∴OB=3×4=12,
則B(12,0).
設BC的解析式為y=kx+b,
則
解得
則直線BC的解析式為y=x+4.
(2)
解:過點D作y軸的垂線DM交y軸于點M,過點F作y軸的垂線FN交y軸于點N,
則∠DME=∠FNE=90°,∠DEM+∠EDM=90°,
在正方形DEFG中,
則DE=EF,∠DEF=90°,
∴∠DEM+∠FEN=90°,
∴∠EDM=∠FEN,
∴△DME≌△ENF,
∴FN=EM=|n-2|,EN=DM=1,
則ON=OE-EN=|n-1|,
則F(|n-2|,|n-1|)
當點F在BC上時,F(n-2,n-1),將它代入直線BC的解析式y(tǒng)=x+4,
得(n-2)+4=n-1,解得n=;
當點F在AB上時,即n-1=0,則n=1;
綜上n=或1.
(3)
解:①當AE’⊥AC時,A,E,E'三點共線,如圖2,則AE⊥AC,
易證得△ACE~△OCA,
則
由AC===2.
則CE==5,
即n=4-5=-1.
②當AE’⊥AB時,設EE'與AC的交點為P,如圖3,可得△AE'P≌△CEP,
則AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,則AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如圖3,當AE'與BC垂直時,直線AE’與BC的延長線交于點M,與y軸交于點Q,
則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,則Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直線AQ的解析式為y=3x+6.
因為直線AC的解析式為y=2x+4,AC與EE'垂直,
所以可設EE'的解析式為y=-x+c,
將E(0,n)代入可解得y=-x+n.
聯(lián)立
解得
即E'(,),
則EE'的中點P的坐標為(,),
因為點P在直線AC上,代入y=2x+4可得
+4=,
解得n=.
綜上n=-1,或.
;
解:①當AE’⊥AC時,A,E,E'三點共線,如圖2,則AE⊥AC,
易證得△ACE~△OCA,
則
由AC===2.
則CE==5,
即n=4-5=-1.
②當AE’⊥AB時,設EE'與AC的交點為P,如圖3,可得△AE'P≌△CEP,
則AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,則AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如圖3,當AE'與BC垂直時,直線AE’與BC的延長線交于點M,與y軸交于點Q,
則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,則Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直線AQ的解析式為y=3x+6.
因為直線AC的解析式為y=2x+4,AC與EE'垂直,
所以可設EE'的解析式為y=-x+c,
將E(0,n)代入可解得y=-x+n.
聯(lián)立
解得
即E'(,),
則EE'的中點P的坐標為(,),
因為點P在直線AC上,代入y=2x+4可得
+4=,
解得n=.
綜上n=-1,或.
;
解:①當AE’⊥AC時,A,E,E'三點共線,如圖2,則AE⊥AC,
易證得△ACE~△OCA,
則
由AC===2.
則CE==5,
即n=4-5=-1.
②當AE’⊥AB時,設EE'與AC的交點為P,如圖3,可得△AE'P≌△CEP,
則AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,則AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如圖3,當AE'與BC垂直時,直線AE’與BC的延長線交于點M,與y軸交于點Q,
則tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,則Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直線AQ的解析式為y=3x+6.
因為直線AC的解析式為y=2x+4,AC與EE'垂直,
所以可設EE'的解析式為y=-x+c,
將E(0,n)代入可解得y=-x+n.
聯(lián)立
解得
即E'(,),
則EE'的中點P的坐標為(,),
因為點P在直線AC上,代入y=2x+4可得
+4=,
解得n=.
綜上n=-1,或.
【解析】(1)將點D(m,2)代入直線AC的解析式可求出m;由直線AC的解析式可得點C的坐標,由OB=3OC,求出點B的坐標,運用待定系數法求BC的解析式;
(2)由正方形的性質構造全等三角形,用n表示出點F的坐標,再分類討論點F在BC上和在AB上時n的值;
(3)分三種情況討論:EE'⊥AC,EE'⊥AB,EE'⊥BC.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.求作∠ABC的平分線,分別交AD,AD于P,Q兩點;并證明AP=AQ.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABE中∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是線段AE上的一動點,過D作CD交BE于C,并使得∠CDE=30°,則CD長度的取值范圍是 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】嘉興教育學院大學生小王利用暑假開展了30天的社會實踐活動,參與了嘉興浙北超市的經營,了解到某成本為15元/件的商品在x天銷售的相關信息,如表表示:
銷售量p(件) | P=45﹣x |
銷售單價q(元/件) | 當1≤x≤18時,q=20+x |
設該超市在第x天銷售這種商品獲得的利潤為y元.
(1)求y關于x的函數關系式;
(2)在這30天中,該超市銷售這種商品第幾天的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,圖①是某電腦液晶顯示器的側面圖,顯示屏AO可以繞點O旋轉一定的角度.研究表明:顯示屏頂端A與底座B的連線AB與水平線BC垂直時(如圖②),人觀看屏幕最舒適.此時測得∠BAO=15°,AO=30cm,∠OBC=45°,求AB的長度.(結果精確到1 cm)(參考數據:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97, tan15°≈0.27, ≈1.414)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】設不等式0<|x+2|﹣|1﹣x|<2的解集為M,a,b∈M
(1)證明:|a+ b|< ;
(2)比較|4ab﹣1|與2|b﹣a|的大小,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA⊥AD,E,F分別為BC,PE的中點,AF⊥平面PED.
(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求直線BF與平面AFD所成角的正弦值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,2b= asinB+bcosA,c=4. (Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若D是BC的中點,AD= ,求△ABC的面積.
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