Question

【題目】如圖，AB是△ABC外接圓的直徑，O為圓心，CHAB，垂足為H，且∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于點D，連接BD，AP=2．

（1）判斷直線PC是否為⊙O的切線，并說明理由；

（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的長．

（3）若tan∠ACP=，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）PC 是⊙O的切線，理由見解析；（2）AC=2；BC=；BD=；（3）⊙O的半徑為3．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及垂直的定義得到∠PCA+∠OCA=90°，即可證明PC 是⊙O的切線；

（2）根據(jù)∠P=30°，可求得∠AOC=60°，進而得到∠OAC=60°，求出∠PCA=30°，AC=AP=2，利用∠ABC=∠AOC=30°，求出AB=2AC=4，利用勾股定理求出BC，利用垂徑定理得到AD=BD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出BD的長；

（3）根據(jù)直徑和切線的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACH，由tan∠ABC=tan∠ACP=得到，再證明△PAC∽△PCB，得到，求出PC，再求出PB，故可求出半徑的長．

（1）PC 是⊙O的切線

理由：連接OC，

OA=OC

∠OCA=∠OAC

CHAB

∠ACH+∠OAC=90°

∠PCA=∠ACH

∠PCA+∠OAC=90°

即：∠PCA+∠OCA=90°

OC為⊙O的半徑

PC 是⊙O的切線

（2）連接AD，

PC 是⊙O的切線

∠PCO=90°

∠P=30°

∠AOC=60°

OA=OC

∠OAC=60°

∴∠ACP=∠OAC-∠P=30°

AC=AP=2

∠ABC=∠AOC=60°=30°

AB=2AC=

CD平分∠ACB

∠ACD=∠BCD

弧AD與弧BD相等，

AD=BD

AB為⊙O的直徑

∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形；

；

（3）AB為⊙O的直徑，

∠ACB=90°

∠ACH+∠BCH=90°

CHAB

∠B+∠BCH=90°

∠ABC=∠ACH

tan∠ABC=tan∠ACP=

∠PCA=∠ACH

∠PCA=∠ABC

∠P=∠P

△PAC∽△PCB

AP=2

PC=4

PB=8

AB=6

⊙O的半徑為3．