Question

如圖，⊙O半徑為2，直徑CD以O為中心，在⊙O所在平面內轉動，當CD轉動時，OA固定不動，0°≤∠DOA≤90°，且總有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC與⊙O交于E，連AD，設CE為x，四邊形ABCD的面積為y．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；
（2）當x=2

3

時，求四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比；
（3）當x取何值時，四邊形ABCD為直角梯形？連EF，此時OCEF變成什么圖形？（只需說明結論，不必證明）

Answer 1

（1）連接DE，過O作OH⊥BC于H，則DE⊥BC，OH∥DE，
∵CD=4，CE=x，
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

，
∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

，
∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

，
=3

16-x2

（0≤x≤4），
∴x的取值范圍為0≤x≤4；

（2）當x=2

3

時，
∵CE=2

3

，CD=4，
∴DE=2，∠C=30°，
∴∠DOE=60°，OH=1，
∵S_圓內部分=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

，
∵S_{四邊形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6，
∴S_圓內部分：S_{四邊形ABCD}=

2π+3 3

18

，
∴四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比為（2π+3

3

）：18；

（3）當∠CDA=90°，
由OA=2OD，得∠DAO=30°
所以∠DCB=∠DOA=60°
此時△OCE為等邊三角形，所以x=2時，四邊形ABCD為直角梯形，
連EF，此時OCEF變成了菱形