Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2的圖象經(jīng)過點A和點B．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）把（1）中的拋物線先向左平移1個單位長度，再向上或向下平移多少個單位長度能使拋物線與直線AB只有一個交點？寫出此時拋物線的解析式．
（3）將（2）中的拋物線向右平移個單位長度，再向下平移t個單位長度（t＞0），此時，拋物線與x軸交于M、N兩點，直線AB與y軸交于點P．當t為何值時，過M、N、P三點的圓的面積最��？最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）由圖象可知A（1，0），B（4，6），代入y=ax²+bx+2．
得解得
∴拋物線的解析式為y=x²-3x+2．

（2）原拋物線的解析式可配方為，拋物線向左平移1個單位長度后解析式為，設向上或向下平移h個單位長度，則解析式為．
由A、B兩點坐標可求得直線AB的解析式為y=2x-2，
由
得，化簡得x²-3x+h+2=0，
∵拋物線與直線只有一個交點，即此一元二次方程只有唯一的根，
∴b²-4ac=0，即9-4×（h+2）=0．∴，也就是拋物線再向上平移個單位長度能與直線AB只有一個交點，此時拋物線的解析式為．

（3）拋物線向右平移個單位長度，再向下平移t個單位長度，
解析式為y=（x-3）²-t．
令y=0，即（x-3）²-t=0，則x₁=3+，x₂=3-．
由（2）知：點P（0，-2）．
∵過M、N、P三點的圓的圓心一定在直線x=3上，點P為定點，
∴要使圓的面積最小，圓的半徑應等于點P到直線x=3的距離，此時，半徑為3，面積為9π．
設圓心為C，MN的中點為E，連接CE，CM．
在三角形CEM中，∵ME²+CE²=CM²，
∴（）²+2²=3²，∴t=5．
∴當t=5時，過M、N、P三點的圓的面積最小，最小面積為9π?．
分析：（1）由圖象可知A（1，0），B（4，6），可用待定系數(shù)求出拋物線的解析式；
（2）原拋物線的解析式可配方為，頂點坐標為（，-），先向左平移1個單位長度，再平移使拋物線與直線AB只有一個交點，得新拋物線的頂點為（，0），設新拋物線的解析式為y=（x-h）²+k，把新拋物線的頂點坐標代入即可；
（3）先設出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=3．因此過P，M，N三點的圓的圓心必在直線x=3上，要使圓的面積最小，那么圓心到P點的距離也要最�。ㄔO圓心為C），即P，C兩點的縱坐標相同，因此圓的半徑就是3．求出P點的坐標．可設出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離，即t的值．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到待定系數(shù)求出拋物線的解析式，拋物線的頂點公式拋物線的平移不改變二次項的系數(shù)；拋物線的平移，看頂點的平移即可；左右平移，只改變頂點的橫坐標，左減右加；上下平移，只改變頂點的縱坐標，上加下減．