Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形（點(diǎn)A、C、P按逆時(shí)針方向排列）；當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，得到等邊三角形AOB（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）

初步探究

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo) ；

（2）點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)冗吶�角�?/span>ACP的頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)，連接BP，求證：△AOC≌△ABP．

深入探究

（3）當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．探究點(diǎn)P在怎樣的圖形上運(yùn)動(dòng)，請直接寫出結(jié)論；

拓展應(yīng)用

（4）點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)過程中，當(dāng)△POB為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(，1)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)P在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上； (4)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).

【解析】

(1)如圖1中，作BH⊥OA于H，利用等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形求出BH、OH即可得答案；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可得AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，繼而可得∠CAO=∠PAB，利用SAS即可得證；

(3)由△AOC≌△ABP，可得∠ABP=∠AOC=90°，繼而可得 點(diǎn)P在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上；

(4)分4種情況，①點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)P在第一象限時(shí)，BP=OB；②點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，OP=BP；③點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在第四象限時(shí)，BP=OB；④點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸，針對四種情況分別畫出圖形并求解即可得.

(1)如圖1中，作BH ⊥OA于H，

∵A(0，2)，

∴OA=2，

∵△AOB是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=2，∠BOH=60°，

在Rt△OBH中，OH=AH=1，BH==，

∴B(，1)；

(2)如圖2，

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

即∠CAO=∠PAB，

∴△AOC≌△ABP(SAS)；

(3)如圖2中，∵△AOC≌△ABP，

∴∠ABP=∠AOC=90°，

∴PB⊥AB，

∴點(diǎn)P在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上；

(4)①如圖3，當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)P在第一象限時(shí)，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(2，0)；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，OP=BP，此時(shí)AP垂直平分OB，

∴∠OAP=30°，

∴AP=PC=2OP，

∵AO2+OP2=AP2，即22+OP2=4OP2，

∴OP=，

∴OC=，

∴C(-，0)；

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在第四象限時(shí)，BP=OB=2，

∵∠ABP=90°，

∴AP==2，

∴AC=AP=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

④如圖6，當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸時(shí)，OP=OB=2，

此時(shí)AP=2OP=4，∴AC=AP=4，

∵∠AOC=90°，OA=2，

∴OC=，

∴C(-2，0)；

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(2，0)或(-，0)或(-2，0)或C(-2，0).