Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，D為AB上一點(diǎn)，連接CD．

(1)如圖1，若∠BCA＝90°，CD⊥AB，則＝______(直接寫(xiě)出結(jié)果)．

(2)如圖2，若BD＝AC，E為CD的中點(diǎn)，AE與BC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，判斷并說(shuō)明理由；

(3)如圖3，CD平分∠ACB，BF平分∠ABC，交CD于F．若BF＝AC，求∠ACD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)BC＝2AE．理由見(jiàn)解析；(3)∠ACD＝40°．

【解析】

（1）根據(jù)含30°的直角三角形即可進(jìn)行求解；

（2）延長(zhǎng)AE至F，使EF＝AE，連接BF，CF，DF，易證△AEC≌△FED，再證△ABF≌△BAC，即可得到BC＝2AE；

（3）在AB上取點(diǎn)G，使AG＝AC，易證△ACG為等邊三角形，易證△DGC≌△DFB，得∠DBC＝∠DCB＝∠ACD，即可求出∠ACD＝＝40°．

(1)∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，∠BAC＝60°，

∴AD=，AC=

∴AD=

∴＝

(2)BC＝2AE．理由如下：

延長(zhǎng)AE至F，使EF＝AE，連接BF，CF，DF，易證△AEC≌△FED，

∴DF＝AC＝BD，∠EAC＝∠EFD，

∴DF∥AC，

∴∠BDF＝∠BAC＝60°，△BDF為等邊三角形，

∴∠DBF＝∠BAC＝60°，易證△ABF≌△BAC，

∴AF＝BC，

∴BC＝2AE；

(3)在AB上取點(diǎn)G，使AG＝AC，易證△ACG為等邊三角形，

∴GC＝AC＝BF，∠AGC＝60°，

∠BFD＝∠AGC＝60°，易證△DGC≌△DFB，

∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠ACD，

∴∠ACD＝＝40°．