Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)H在BC上，且∠GDH=45°,DG、DH分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)E、F,則線段AE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系為_______ .

Answer 1

【答案】

【解析】

把△DCH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAH’，在GH上截取GM=AG，連接EM、FM，

證明△DH’G≌△DHG，從而證明MH=CH，再證明△AGE≌△MGE、△CHF≌△MHF，從而得到∠EMF=90°，即可證明結(jié)論.

證明：將△DCH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△DAH’，在GH上截取GM=AG，連接EM、FM，

∵∠ADC=90°，∠GDH=45°，

∴∠ADG+∠CDH=45°，

∵∠ADH’=∠CDH，

∴∠ADG+∠ADH’=45°，即∠GDH’ =45°，

∴∠GDH=∠GDH’，

又DG=DG，DH=DH’，

∴△DH’G≌△DHG，

∴H’G=HG，∠DGH’=∠DGH，∠DHG =∠DH’G=∠DHC，

又∵GM=AG，

∴MH=AH’=CH，

∵GM=AG，∠DGH’=∠DGH，EG=EG，

∴△AGE≌△MGE，

∴AE=ME，∠EMG=∠EAG，

∵MH=CH，∠DHG =∠DHC，FH=FH，

∴△CHF≌△MHF，

∴CF=MF，∠FCH=∠FMH，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠EAG=∠FCH=45°，

∴∠EMG=∠FMH=45°，

∴∠EMF=90°，

∴，

∴.