Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連結(jié)BF．

（1）求證：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中點(diǎn)；
（2）若AB=AC，求證：四邊形AFBD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△AEF和△EDC中， ，

∴△EAF≌△EDC（AAS）；

②∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

即D是BC的中點(diǎn)

（2）證明：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形

【解析】（1）①由AF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，由點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，得出AE=DE，然后再證明三角形全等即可。②由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；
（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可。

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．