【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長;
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:∵△ABC是邊長為6的等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QPC=90°,
設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC= QC,即6﹣x= (6+x),解得x=2,
∴AP=2
(2)解:當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線段DE的長度不會(huì)改變.理由如下:
作QF⊥AB,交直線AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵點(diǎn)P、Q速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
,
∴△APE≌△BQF(AAS),
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四邊形PEQF是平行四邊形,
∴DE= EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE= AB,
又∵等邊△ABC的邊長為6,
∴DE=3,
∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線段DE的長度不會(huì)改變.
【解析】(1)由△ABC是邊長為6的等邊三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC= QC,即6﹣x= (6+x),求出x的值即可;(2)作QF⊥AB,交直線AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形,進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE= AB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段DE的長度不會(huì)改變.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段AB=20 cm,直線AB上有一點(diǎn)C,且BC=6 cm,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),則MN=____________ cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,將△A1B1C1放大為原來的2倍,得到△A2B2C2,請(qǐng)?jiān)诘谌笙迌?nèi)畫出△A2B2C2,并求出S△A1B1C1:S△A2B2C2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F.
求證:DE=DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車經(jīng)銷商購進(jìn)兩種型號(hào)的低排量汽車,其中型汽車的進(jìn)貨單價(jià)比型汽車的進(jìn)貨單價(jià)多2萬元,經(jīng)銷商花50萬元購進(jìn)型汽車的數(shù)量與花40萬元購進(jìn)型汽車的數(shù)量相等.銷售中發(fā)現(xiàn)型汽車的每周銷量(臺(tái))與售價(jià)(萬元/臺(tái))滿足函數(shù)關(guān)系式, 型汽車的每周銷量(臺(tái))與售價(jià)(萬元/臺(tái))滿足函數(shù)關(guān)系式.
(1)求兩種型號(hào)的汽車的進(jìn)貨單價(jià);
(2)已知型汽車的售價(jià)比型汽車的售價(jià)高2萬元/臺(tái),設(shè)型汽車售價(jià)為萬元/臺(tái).每周銷售這兩種車的總利潤為萬元,求與的函數(shù)關(guān)系式, 兩種型號(hào)的汽車售價(jià)各為多少時(shí),每周銷售這兩種車的總利潤最大?最大總利潤是多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲煤場(chǎng)有煤518噸,乙煤場(chǎng)有煤106噸,為了使甲煤場(chǎng)存煤是乙煤場(chǎng)的2倍,需要從甲煤場(chǎng)運(yùn)煤到乙煤場(chǎng),設(shè)從甲煤場(chǎng)運(yùn)煤x噸到乙煤場(chǎng),則可列方程為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4.點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn),且在直線AB的上方.
(1)求k的值;
(2)設(shè)直線PA,PB與x軸分別交于點(diǎn)M,N,求證:△PMN是等腰三角形;
(3)設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P,B之間的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)P,B不重合),連接AQ,BQ,比較∠PAQ與∠PBQ的大小,并說明理由.
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