Question

【題目】已知BD為正方形ABCD的對(duì)角線，P、Q兩點(diǎn)分別在AB、BD上，且滿足∠PCQ=∠ABD.

(1)求：的值；

(2)由于四邊形不具穩(wěn)定性，把正方形ABCD沿D向右拉動(dòng),使∠BAD=120時(shí),此時(shí)線段CD、DQ、BP有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,在(2)的條件下,延長(zhǎng)CQ交AD邊于點(diǎn)E交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作∠DCE的平分線交AD邊于點(diǎn)F,若CQ：PM=5：7,EF= a，求線段CD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）；（2）DQ+BP=2CD，理由見解析；（3）DC=.

【解析】

（1）連接AC，由題意知：∠PCQ=∠ABD=45°，由于∠ACD=45°，故∠PCA=∠QCD，又∠CDQ=∠PAC，故△APC∽△DQC.相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即能得出本題結(jié)果.

(2) 作∠QCK=∠PCQ，過(guò)B作BL∥CK，連接AC, 得∠CQD=∠CKD.BL∥CK，則∠BLD∠CQD，∠BDL=∠CDB，則△BLD∽△CQD，知==，則DL=DQ,CD+DK=DQ，又通過(guò)證明△ACP≌DCK，故DK=AP，所以CD+DK=CD+AP=2CD-BP=DQ.

(3)根據(jù)題意易得:∠BDC=∠PCQ=30°，∠PMC=∠QCD,則△DQC∽△MPC,所以==5:7，設(shè)BC=5k，MC=7k，過(guò)C作CGAB與G，則CGB=90°.AD∥BC易得∠ABC=60°，所以BG=k，CG=k，在Rt△MGC中，根據(jù)勾股定理知MG=k,則BM=8k，AB=BC=5k，AM=3k，因?yàn)?/span>AM∥CD易知△AME∽△DCE，則知AE=k，延長(zhǎng)CF、BM交于H，易得∠MCH=MHC，則，MH=MC=7k，AH=10k. △DFC∽△AFH,知==1:2,易知AF=k，又EF=a，則k=a，所以DC=a。

(1)如圖1，連接AC，四邊形ABCD是正方形.

∴∠PCQ=∠CDQ=45°,∠PAC=∠QDC=∠ACD=45°

∴∠ACP+∠ACQ=∠ACQ+∠QCD=45°.

∴∠ACP=∠QCD，

∴△APC∽△DQC.

∴.

（2）猜想：DQ+BP=2CD

理由如下：如圖2，作∠QCK=∠PCQ，過(guò)B作BL∥CK，連接AC．

由題得四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∴∠ABD=∠ADB=30°，

∵∠QCK=∠ADB，

∴∠CQD=∠CKD

∵CK∥BL，

∴∠CKD=∠BLD，

∴△DLB∽△DQC.

∴

∴DL=DQ，

∴CD+DK=DQ，

∵∠BAD=120，∠PCK=60 AC平分∠PAK，

∴∠APC=∠CKD ∠PAC=∠KDC DC=AC

∴△ACP≌△DCK，

∴DK=AP，

∴CD+DK=CD+AP=2CDBP=DQ，

即DQ+BP=2CD；

(3)在菱形ABCD中,∠ABD=∠BDC=30°，

∴∠PCQ=∠CDQ=∠PCQ=∠ABD=30°，.

∵BM∥CD，

∴∠PMC=∠DCQ，

∴△DQC∽△MPC

∴CQ:PM=DC:MC=5:7，

∴BC:MC=5:7.

設(shè)BC=5k,則MC=7k,如圖3,過(guò)C作CG⊥AB于G,則∠CGB=90°

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵∠BAD=120°.

∴∠ABC=60°.

∴BG=k,CG=.

在Rt△MGC中,MG==k，

∴BM=8k.

∵AB=BC=5k，

∴AM=BMAB=3k.

∵AM∥CD，

∴∠AMC=∠DCM，

∵∠AEM=∠DEC，

∴△AME∽△DCE，

∴AM:DC=AE:DE.

∴AE=k.

延長(zhǎng)CF、BM交于H，

則∠DCF=∠MHC

∵FC平分∠ECD，

∴∠ECF=∠DCF，

∴∠MCH=∠MHC，

∴MH=MC=7k，

∴AH=AM+MH=10k.

∵∠HFA=∠CFD，

∴△DFC∽△AFH，

∴DF:AF=DC:AH=1:2

∴AF=k, EF=AFAE=k，

∵EF=k=，

∴k=

∴DC=.