Question

【題目】給出如下定義：對于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一點(diǎn) P（M，O，N 三點(diǎn)不共線，且點(diǎn) P，O 在直線 MN 的異側(cè)），當(dāng)∠MPN+∠MON=180°時，則稱點(diǎn) P 是線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．圖 1 是點(diǎn) P 為線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的示意圖．

在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，⊙O 的半徑為 1．

（1）如圖 2，已知 M（，），N（ ，﹣），在 A（1，0），B（1，1），C（，0）三點(diǎn)中，是線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是哪個點(diǎn)；

（2）如圖 3，M（0，1），N（，﹣），點(diǎn) D 是線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．

①求∠MDN 的大��；

②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn) E（m，m），點(diǎn) E 是線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，判斷△MNE 的形狀，并直接寫出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；

③點(diǎn) F 在直線 y=﹣x+2 上，當(dāng)∠MFN≥∠MDN 時，求點(diǎn) F 的橫坐標(biāo) x 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn) C 滿足條件；（2）①60°；②△MNE 是等邊三角形；③滿足條件的點(diǎn) F 的橫坐標(biāo) x 的取值范圍≤xF≤．

【解析】

（1）由題意線段 MN 關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是以線段 MN 的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn) C 滿足條件；（2）①如圖 3﹣1 中，作 NH⊥x 軸于 H．易求∠MON 的度數(shù)，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義即可求得∠MDN 的大小；②如圖 3﹣2 中，結(jié)論：△MNE 是等邊三角形．作 EK⊥x 軸于 K，求得∠MOE=60°；由∠MON+∠MEN=180°，推出 M、O、N、E 四點(diǎn)共圓，可得∠MNE=∠MOE=60°，由此即可解決問題；③如圖 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等邊三角形，作△MNE 的外接圓⊙O′，首先證明點(diǎn) E 在直線 y=﹣x+2 上，設(shè)直線交⊙O′于 E、F，可得 F（， ），觀察圖形即可解決問題.

（1）由題意線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是以線段 MN 的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn) C 滿足條件；

（2）①如圖 3﹣1 中，作 NH⊥x 軸于 H．

∵N（，﹣），

∴tan∠NOH= ，

∴∠NOH=30°，

∠MON=90°+30°=120°，

∵點(diǎn) D 是線段 MN 關(guān)于點(diǎn) O 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，

∴∠MDN+∠MON=180°，

∴∠MDN=60°．

②如圖 3﹣2 中，

結(jié)論：△MNE 是等邊三角形．

理由：作 EK⊥x 軸于 K．

∵E（m，m），

∴tan∠EOK=，

∴∠EOK=30°，

∴∠MOE=60°，

∵∠MON+∠MEN=180°，

∴M、O、N、E 四點(diǎn)共圓，

∴∠MNE=∠MOE=60°，

∵∠MEN=60°，

∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°，

∴△MNE 是等邊三角形．

③如圖 3﹣3 中，由②可知，△MNE 是等邊三角形，作△MNE 的外接圓⊙O′，

易知 E（，1），

∴點(diǎn) E 在直線 y=﹣x+2 上，設(shè)直線交⊙O′于 E、F，可得 F（，），

觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)F的橫坐標(biāo) x 的取值范圍≤xF≤．