【題目】如圖,四邊形ABCD為長方形,C點在x軸,A點在y軸上,D點坐標(biāo)是(0,0),B點坐標(biāo)是(3,4),長方形ABCD沿直線EF折疊,點A落在BC邊上的G處,EF分別在AD、AB上,F(2,4)

1)求G點坐標(biāo);

2)△EFG的面積為   (直接填空);

3)點Nx軸上,直線EF上是否存在點M,使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出M點的縱坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1G點的坐標(biāo)為;(2;(3

【解析】

1)根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2,而FB=AB-AF=1,則在RtBFG中,利用勾股定理求出BG的長,從而得到CG的長,從而得到G點坐標(biāo);

2)由三角函數(shù)求出∠BFG=60°,得出∠AFE=EFG=60°,由三角函數(shù)求出AE=AFtanAFE=2,代入三角形面積公式計算即可;

3)因為M、N均為動點,只有FG已經(jīng)確定,所以可從此入手,按照FG為一邊、FG為對角線的思路,順序探究可能的平行四邊形的形狀.確定平行四邊形的位置與形狀之后,利用全等三角形求得M點的縱坐標(biāo),再利用直線解析式求出M點的橫坐標(biāo),從而求得M點的坐標(biāo).

解:(1)∵B點坐標(biāo)是(3,4),F2,4),

AB=3OA=BC=4,AF=2,

BF=AB-AF=1,

由折疊的性質(zhì)得:△EFA≌△EFG,GF=AF=2,

∵四邊形ABCD為矩形,

∴∠B=90°,

G點的坐標(biāo)為

2)在RtBFG中,cosBFG=

∴∠BFG=60°,

∴∠AFE=EFG=60°,

AE=AFtanAFE=2tan60°=

∵△EFA的面積=

∴△EFG的面積=

故答案為:

3)若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形,則可能存在以下情形:

①FG為平行四邊形的一邊,且N點在x軸正半軸上,如圖1所示.

點作⊥x軸正半軸于點H,

∵AB∥OQ

∴∠HQF=∠BFG

△GBF中,

由(2)得:

∴E點的坐標(biāo)為

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b,則

解得:

直線EF的解析式為

∵當(dāng)時, ,

∴點 的坐標(biāo)為

FG為平行四邊形的一邊,且N點在x軸負(fù)半軸上,如圖2所示.

仿照與①相同的辦法,可求得

FG為平行四邊形的對角線,如圖3所示.

FB延長線的垂線,垂足為H

在△和△中,

的縱坐標(biāo)為

代入直線EF解析式,得到的橫坐標(biāo)為

綜上所述,存在點M,使以MN、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形.

M的坐標(biāo)為:

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(1) 當(dāng)t=2時, E的坐標(biāo)為   

(2) ΔDFC的面積為,求t的值。

(3) 當(dāng)D、 B G、 E四點為頂點的四邊形為平行四邊形時,在Y軸上存在點M,過點MFC的平行線交直線OB為點N,若以M N、 F、 C為頂點的四邊形也是平行四邊形,則點M的坐標(biāo)為   (直接寫出答案)

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