Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接AP．

（1）試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有△PBQ與△ABC相似；

（2）若Rt△AQP≌Rt△ACP≌Rt△BQP，求tanB的值；

（3）已知AC=3，BC=4，當(dāng)BP為何值時(shí)，△AQP面積最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）; （3）當(dāng)BP=時(shí)，△APQ的面積最大，最大值是；

【解析】試題分析：（1）直接證明∠C=∠PQB=90°，而∠B=∠B，即可根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；

（2）分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求出AQ=QB=AC，然后根據(jù)銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)求出tanB的值;

（3）利用勾股定理求出AB的值，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出PQ、BQ，再根據(jù)三角形的面積公式求出△AQP面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和配方法解答即可．

試題解析：（1）不論點(diǎn)P在BC邊上何處時(shí)，都有

∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B

∴△PBQ∽△ABC；

（2）∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC

又Rt△AQP≌Rt△BQP ∴AQ=QB

∴AQ=QB=AC

∴∠B=

∴

（3）設(shè)BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB=5

∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，

∴，即 ∴

S△APQ===

∴當(dāng)時(shí)，△APQ的面積最大，最大值是；