Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最��？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；
（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時(shí)，△ACE的面積最大，然后求出此時(shí)與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（4，3），
∴，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)△BCD的周長最小，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
所以，直線AC的解析式為y=x-1，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2-1=1，
∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D（2，1），使△BCD的周長最�。�

（3）如圖，設(shè)過點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=x+m，
聯(lián)立，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，
此時(shí)x=，y=-=-，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，-），
設(shè)過點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F，則F（，0），
∴AF=-1=，
∵直線AC的解析式為y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴點(diǎn)F到AC的距離為×=，
又∵AC==3，
∴△ACE的最大面積=×3×=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行線確定點(diǎn)到直線的最大距離問題．