Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q為坐標(biāo)系上任意一點(diǎn)，某圖形上的所有點(diǎn)在∠Q的內(nèi)部（含角的邊），這時(shí)我們把∠Q的最小角叫做該圖形的視角．如圖1，矩形ABCD，作射線OA，OB，則稱∠AOB為矩形ABCD的視角．
（1）如圖1，矩形ABCD，A（﹣ ，1），B（ ，1），C（ ，3），D（﹣ ，3），直接寫出視角∠AOB的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，在射線CB上有一點(diǎn)Q，使得矩形ABCD的視角∠AQB=60°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，⊙P的半徑為1，點(diǎn)P（1， ），點(diǎn)Q在x軸上，且⊙P的視角∠EQF的度數(shù)大于60°，若Q（a，0），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，設(shè)AB交y軸于E．

∵A（﹣ ，1），B（ ，1），

∴OE⊥AB，EA=EB，

∴OA=OB，

在Rt△OAE中，tan∠OAE= ，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠AOB=120°

（2）解：如圖2中，連結(jié)AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結(jié)AQ．

∵AB=2 ，BC=2，

∴AC=4，

∴∠ACQ=60°．

∴△ACQ為等邊三角形，

即∠AQC=60°，

∵CQ=AC=4，

∴Q（ ，﹣1）

（3）解：如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)E，OF是⊙P的切線，

∵P（1， ），

∴PE=1，OE= ，

∴tan∠POE= ，

∴∠POE=∠POF=30°

∴∠EQF=60°，此時(shí)Q（0，0），

如圖4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)FQ⊥x軸時(shí)，∠EQF=60°，

∴Q（2，0），

∴a的取值范圍是0＜a＜2．

【解析】（1）如圖1中，設(shè)AB交y軸于E．首先證明OA=OB，在Rt△AEO中，求出∠OAE的度數(shù)即可．（2）如圖2中，連結(jié)AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結(jié)AQ．只要證明△ACQ是等邊三角形即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)E，OF是⊙P的切線，可以證明∠EQF=60°，此時(shí)Q（0，0），如圖4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)FQ⊥x軸時(shí)，∠EQF=60°，此時(shí)Q（2，0），由此即可解決問(wèn)題．