Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．如圖1所示

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴DA∥OC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD=90°，

即OC⊥DC，

∵OC為半徑，

∴DC為⊙O的切線．

（2）解：連接BC，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴AB=10，∠ACB=90°=∠ADC，

∴AC= =8，

又∵∠DAC=∠OAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得：CD=4.8．

【解析】（1）根據(jù)切線的判定方法只要求出∠OCD=90°即可；由AC平∠DAB，得到∠DAC=∠OAC，由OA=OC，得到∠OCA=∠OAC，∠DAC=∠OCA，DA∥OC，因為AD⊥DC，所以∠ADC=90°，∠OCD=90°，即OC⊥DC，由OC為半徑，所以DC為⊙O的切線；（2）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)勾股定理求出AC的值，又兩角相等兩三角形相似，得出△ACD∽△ABC，寫出比例式求出CD的值.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識點，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．