【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的直線互相垂直,垂足為D,且AC平分∠DAB.
(1)求證:DC為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC=6,求CD的長.
【答案】
(1)證明:連接OC.如圖1所示
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴DA∥OC,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°,
∴∠OCD=90°,
即OC⊥DC,
∵OC為半徑,
∴DC為⊙O的切線.
(2)解:連接BC,如圖2所示:
∵AB是⊙O的直徑,
∴AB=10,∠ACB=90°=∠ADC,
∴AC= =8,
又∵∠DAC=∠OAC,
∴△ACD∽△ABC,
∴ ,即 ,
解得:CD=4.8.
【解析】(1)根據(jù)切線的判定方法只要求出∠OCD=90°即可;由AC平∠DAB,得到∠DAC=∠OAC,由OA=OC,得到∠OCA=∠OAC,∠DAC=∠OCA,DA∥OC,因為AD⊥DC,所以∠ADC=90°,∠OCD=90°,即OC⊥DC,由OC為半徑,所以DC為⊙O的切線;(2)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)勾股定理求出AC的值,又兩角相等兩三角形相似,得出△ACD∽△ABC,寫出比例式求出CD的值.
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識點,需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題.
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【題目】閱讀下列文字與例題,并解答。
將一個多項式分組進(jìn)行因式分解后,可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解法。例如:以下式子的分解因式的方法叉稱為分組分解法。
(1)試用“分組分解法”分解因式:
(2)已知四個實數(shù)a,b,c,d滿足。并且,,,同時成立。
①當(dāng)k=1時,求a+c的值;
②當(dāng)k≠0時,用含a的代數(shù)式分別表示b、c、d。
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【題目】某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力,舉辦了動漫制作活動,小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛形,如圖所示,甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動,甲運動的路程l(cm)與時間t(s)滿足關(guān)系:(t≥0),乙以4cm/s的速度勻速運動,半圓的長度為21cm.
(1)甲運動4s后的路程是多少?
(2)甲、乙從開始運動到第一次相遇時,它們運動了多少時間?
(3)甲、乙從開始運動到第二次相遇時,它們運動了多少時間?
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【題目】定義:給定兩個不等式組和,若不等式組的任意一個解,都是不等式組的一個解,則稱不等式組為不等式組的“子集”例如:不等式組:是:的“子集”.
(1)若不等式組:,,其中不等式組_________是不等式組的“子集”(填或);
(2)若關(guān)于的不等式組是不等式組的“子集”,則的取值范圍是________;
(3)已知為互不相等的整數(shù),其中,,下列三個不等式組:,,滿足:是的“子集”且是的“子集”,則的值為__________;
(4)已知不等式組有解,且是不等式組的“子集”,請寫出,滿足的條件:________________.
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【題目】如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,BD、CE交于點F.
(1)求證:BD=CE;(2)求銳角∠BFC的度數(shù).
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【題目】如圖,正方形ABCD與正方形EFGH是位似形,已知A(0,5),D(0,3),E(0,1),H(0,4),則位似中心的坐標(biāo)是 .
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【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為a的正方形,點G,E分別是邊AB,BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.
(1)證明:∠BAE=∠FEC;
(2)證明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面積.
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