【題目】我們定義:有一組對(duì)角相等的四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”.
(1)如圖①,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上,且AE=AD.證明:四邊形ABCE是“等對(duì)角四邊形”.
(2)如圖②,在“等對(duì)角四邊形”ABCD中,∠DAB=∠BCD=53°,∠B=90°,sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈.
(3)如圖③,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,∠DAC=30°,CD=4,若四邊形ABCD是“等對(duì)角四邊形”,且∠B=∠D,則BD的最大值是 .(直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)見解析;(2)CD=10;(3)BD的最大值是4+4.
【解析】
(1)證明∠B=∠E,即可證明四邊形ABCE是“等對(duì)角四邊形”;
(2)過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,先證明四邊形EBFD為矩形,于是BE=DF,BF=DE,在Rt△CDF中,tan∠FCD==tan53°=,可設(shè)DF=4x,CF=3x,則CD=5x, 則BE=DF=4x,DE=BF=18﹣3x,AE=17﹣4x,在Rt△ADE中,∠A=53°,tan∠A=,于是3DE=4AE,列出方程3(18﹣3x)=4(17﹣4x),求得x=2,即CD=5x=10;
(3)由∠ABC=60°,可知點(diǎn)B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的上運(yùn)動(dòng),當(dāng)BD經(jīng)過圓心O時(shí),BD最長(zhǎng),即為B1D的長(zhǎng),求出即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°,
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADE,
∵AE=AD,
∠E=∠ADE,
∴∠B=∠E,
∴四邊形ABCE是“等對(duì)角四邊形”;
(2)如圖②,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,
∴∠BED=∠BFD=90°,
又∠B=90°,
∴四邊形EBFD為矩形,
∴BE=DF,BF=DE,
在Rt△CDF中,
tan∠FCD==tan53°=,
設(shè)DF=4x,CF=3x ,則CD=5x
∴BE=DF=4x,DE=BF=18﹣3x,AE=17﹣4x,
在Rt△ADE中,∠A=53°,tan∠A=,
∴3DE=4AE,
3(18﹣3x)=4(17﹣4x),
∴x=2,
CD=5x=10
(3)∵∠ACD=90°,∠DAC=30°,
∴∠CDA=60°,∠ABC=60°,
∴點(diǎn)B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的上運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)BD經(jīng)過圓心O時(shí),BD最長(zhǎng),即為B1D的長(zhǎng),
如圖③,連接DO,與弧交于點(diǎn)B1,連接OC,作OE∥AC,與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E
∵∠ACD=90°,∠DAC=30°,CD=4,
∴AC=4,
易知∠OCA=30°,∠COE=∠OCA=30°,
∴OC=OB=4,CE=2,OE=,
∴DE=CE+DC=2+4=6
∴OD=,
∴DB1=OD+OB1=4+4,
則BD的最大值是4+4.
故答案為4+4.
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【題目】某商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具,已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為40元,用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件,其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù),商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元,求商場(chǎng)共有幾種進(jìn)貨方案?
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+nb=0(1≤n≤3,n為整數(shù)),其中a是從2、4、6三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從1、3、5三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),定義“方程有實(shí)數(shù)根”為事件An(n=1,2,3),當(dāng)An的概率最小時(shí),n的所有可能值為_____.
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【題目】如圖所示的是一個(gè)地球儀及它的平面圖,在平面圖中,點(diǎn)A、B分別為地球儀的南、北極點(diǎn),直線AB與放置地球儀的平面交于點(diǎn)D,所夾的角度約為67°,半徑OC所在的直線與放置它的平面垂直,垂足為點(diǎn)E,DE=15cm,AD=14cm.
(1)求半徑OA的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)
(2)求扇形BOC的面積(π取3.14,結(jié)果精確到1cm)
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,分別以AB,CD為邊向外作等邊△ABE和△CDF,連接AF,CE.求證:四邊形AECF為平行四邊形.
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【題目】如圖,階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù),從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著﹣3,﹣2,﹣1,0,且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等.
(1)求第五個(gè)臺(tái)階上的數(shù)x是多少?
(2)求前21個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的和是多少?
(3)發(fā)現(xiàn):數(shù)的排列有一定的規(guī)律,第n個(gè)﹣2出現(xiàn)在第 個(gè)臺(tái)階上;
(4)拓展:如果倩倩小同學(xué)一步只能上1個(gè)或者2個(gè)臺(tái)階,那么她上第一個(gè)臺(tái)階的方法有1種:1=1,上第二個(gè)臺(tái)階的方法有2種:1+1=2或2=2,上第三個(gè)臺(tái)階的方祛有3種:1+1+1=3、1+2=3或2+1=3,…,她上第五個(gè)臺(tái)階的方法可以有 種.
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【題目】在“書香校園”活動(dòng)中,某校為了解學(xué)生家庭藏書情況,隨機(jī)抽取本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并繪制成部分統(tǒng)計(jì)圖表如下:
類別 | 家庭藏書m本 | 學(xué)生人數(shù) |
A | 0≤m≤25 | 20 |
B | 26≤m≤100 | a |
C | 101≤m≤200 | 50 |
D | m≥201 | 66 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該調(diào)查的樣本容量為_____,a=_____;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“A”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為_____°;
(3)若該校有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)全校學(xué)生中家庭藏書200本以上的人數(shù).
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【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)價(jià)不變的情況下,若每千克漲價(jià)0.1元,銷售量將減少1千克
(1)現(xiàn)該商場(chǎng)保證每天盈利1500元,同時(shí)又要照顧顧客,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?
(2)若該商場(chǎng)單純從經(jīng)濟(jì)利益角度考慮,這種水果每千克漲價(jià)多少元,使該商場(chǎng)獲利最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABC中,AC=BC,過C作CD//AB.若AD平分∠CAB,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. BC=CD
B. BO:OC=AB:BC
C. △CDO≌△BAO
D.
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