Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，且BP=3．一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)發(fā)發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）當(dāng)?shù)冗?/span>△EFG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對(duì)角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝1；（2）詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0時(shí)，△AOH是等腰三角形．

【解析】

（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，由∠CFB＝60°得BF＝3﹣t，在Rt△CBF中，根據(jù)三角函數(shù)求得t的值；

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t不同的取值范圍，求等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S的值，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，重疊部分是直角梯形，面積S等于梯形的面積，

當(dāng)1≤t＜3時(shí)，重疊部分是S梯形MKFE﹣S△QBF，當(dāng)3≤t＜4時(shí)，重疊部分是S梯形MKFE，當(dāng)4≤t＜6時(shí)，重疊部分是正三角形的面積；

（3）當(dāng)AH＝AO＝3時(shí)，AM＝ AH＝ ，在Rt△AME中，由cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，得AE＝ ，即3﹣t＝或t﹣3＝，求出t＝3﹣或t＝3+；

當(dāng)AH＝HO時(shí)，∠HOA＝∠HAO＝30°，又因?yàn)椤?/span>HEO＝60°得到∠EHO＝90°EO＝2HE＝2AE，再由AE+2AE＝3，求出AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，求出t＝2或t＝4；

當(dāng)OH＝OA＝時(shí)∠HOB＝∠OAH＝30°，所以∠HOB＝60°＝∠HEB，得到點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，從而求出t的值

如圖1（1），當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，

∵∠CFB＝60°，

∴BF＝3﹣t，

在Rt△CBF中，

∵BC＝2，tan∠CFB＝，

∴tan60＝ ，

解得BF＝2，即3﹣t＝2，

∴t＝1，

當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t＝1；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，

當(dāng)0≤t＜1時(shí)，

∵tan60°＝，

∴EN＝2，

∵EB＝3+t，NB＝3+t﹣2＝1+t，

∴MC＝1+t，

∴S＝ （MC+EB）BC＝2t+4；

如圖3，當(dāng)1≤t＜3時(shí)，

∵MN＝2 EF＝OP＝6，

GH＝6× ＝3，

∴，

∴MK＝2，

∵EB＝3+t，BF＝3﹣t，BQ＝t﹣，

∴S＝S梯形MKFE﹣S△QBF＝﹣ t2+3t+ ；

如圖4，當(dāng)3≤t＜4時(shí)，

∵MN＝2，EF＝6﹣2（t﹣3）＝12﹣2t，

∴GH＝（12﹣2t）×＝6﹣t，∴，

∴MK＝8﹣2t，

∴S＝﹣4t+20；

當(dāng)4≤t＜6時(shí)，

∵EF＝12﹣2t，

∴高為：EFsin60°＝EF，

∴S＝t2﹣12t+36；

（3）存在．

在Rt△ABC中，tan ，∴∠CAB＝30°

∵∠HEO＝60°，

∴∠HAE＝∠AHE 30°，

∴AE＝HE＝3﹣t或t﹣3，

如圖5，當(dāng)AH＝AO＝3時(shí)，

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AH與M，

則AM＝ AH＝ ，

在Rt△AME中，

cos∠MAE＝ 即cos30°＝ ，

∴AE，

即3﹣t＝或t﹣3＝；

∴t＝3﹣或t＝3+；

如圖6，當(dāng)AH＝HO時(shí)，∠HOA＝∠HAO＝30°，

∵∠HEO＝60°，

∴∠EHO＝90°，EO＝2HE＝2AE，

∵AE+2AE＝3，

∴AE＝1，即3﹣t＝1或t﹣3＝1，

∴t＝2或t＝4；

如圖7，當(dāng)OH＝OA＝時(shí)，

∠HOB＝∠OAH＝30°，

∴∠HOB＝60°＝∠HEB，

∴點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，

∴AE＝AO＝3，

當(dāng)E剛開(kāi)始時(shí)，3﹣t＝3，

當(dāng)E返回時(shí)t﹣3＝3，

∴t＝0，t＝6（舍去），

綜上所述當(dāng)t＝3﹣，t＝3+，t＝2，t＝4，t＝0時(shí)，△AOH是等腰三角形．