Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)以2 cm/s的速度分別從點(diǎn)A，C出發(fā)在線段AC上相對(duì)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到點(diǎn)C，點(diǎn)F到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)求證：當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與點(diǎn)O重合時(shí)，以點(diǎn)B，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

(2)當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形BEDF為矩形？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2 s或8 s時(shí)，四邊形BEDF為矩形

【解析】

（1）如下圖，連接DE，EB，BF，F(xiàn)D，由已知條件易得AE=CF，BO=DO，AO=CO，由此可得OE=OF，從而可得四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）由（1）可知，四邊形BEDF是平行四邊形，故當(dāng)EF=BD=12cm時(shí)，四邊形BEDF是矩形，由此分以下兩種情況進(jìn)行解答即可求得對(duì)應(yīng)的t的值，①點(diǎn)E在OA上，點(diǎn)F在OC上時(shí)，EF=BD=12cm；②點(diǎn)E在OC上，點(diǎn)F在OA上是，EF=BD=12cm.

(1)連接DE，EB，BF，F(xiàn)D.

∵兩動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)以2 cm/s的速度分別從點(diǎn)A，C出發(fā)在線段AC上相對(duì)運(yùn)動(dòng)，

∴AE＝CF.

∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，

∴OD＝OB，OA＝OC(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)，

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)，

即以點(diǎn)B，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

(2)由已知條件可得：AE＝CF＝2t，

∵由（1）可知四邊形BEDF是平行四邊形，

∴當(dāng)EF=BD=12時(shí)，四邊形BEDF是矩形.

①當(dāng)點(diǎn)E在OA上，點(diǎn)F在OC上時(shí)，EF=AC-4t，

∵EF=BD=12，

∴20－4t＝12，解得：t＝2；

②當(dāng)點(diǎn)E在OC上，點(diǎn)F在OA上時(shí)，EF=4t-AC=4t-20，

∵EF=BD=12，

∴4t－20＝12，解得：t＝8.

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2 s或8 s時(shí)，四邊形BEDF為矩形．