【題目】閱讀下列材料,然后解決問(wèn)題:和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用,截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法在證明線段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段,或?qū)⒛硹l線段延長(zhǎng),使之與某特定線段相等,再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.
(1)如圖1,在△ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問(wèn)題可以用如下方法:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使 DE=AD,再連接 BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線 AD的取值范圍是_______.
問(wèn)題解決:
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC,CD上的兩點(diǎn),且∠EAF=∠BAD,求證:BE+DF=EF.
問(wèn)題拓展:
(3)如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,點(diǎn)D是△ABC 外角平分線上一點(diǎn),DE⊥AC交 CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F(xiàn)是 AC上一點(diǎn),且DF=DB.
求證:AC﹣AE=AF.
【答案】(1)2<AD<10;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)延長(zhǎng) AD 到點(diǎn) E 使 DE=AD,連接 BE,證明△ADC≌△EDB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BE=AC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系計(jì)算;
(2)延長(zhǎng) CB 到 G,使 BG=DF,證明△ABG≌△ADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AG=AF,∠GAB=∠FAD,證明△AEG≌△AEF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;
(3)作 DH⊥AB 于 H,在 AB 上截取 BR=AF,分別證明 Rt△DEF≌Rt△DHB,
△DAF≌△DRB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明.
解:(1)延長(zhǎng) AD 到點(diǎn)E使 DE=AD,連接 BE,
在△ADC 和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BE=AC=8,
AB﹣BE<AE<AB+BE,即21﹣8<2AD<12+8,
∴2<AD<10,
故答案為:2<AD<10;
(2)證明:延長(zhǎng) CB 到 G,使 BG=DF,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABG=180°,
∴∠ADC=∠ABG,
在△ABG 和△ADF 中,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴AG=AF,∠GAB=∠FAD,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠FAD+∠BAE=∠GAB+∠BAE= ∠BAD,
∴∠GAE=∠FAE,
在△AEG 和△AEF 中,
∴△AEG≌△AEF(SAS),
∴EF=GE,
∴EF=BE+BG=BE+DF;
(3)證明:作 DH⊥AB 于 H,在 AB 上截取 BR=AF,
∵∠CAB=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC,
∵點(diǎn) D 是△ABC 外角平分線上一點(diǎn),DE⊥AC,DH⊥AB,
∴DE=DH,AH=AE,
在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中,
∴Rt△DEF≌Rt△DHB(HL)
∴∠DFA=∠DBA,
在△DAF 和△DRB 中,
∴△DAF≌△DRB(SAS)
∴DA=DR,
∴AH=HR=AE= AR,
∵AF=BR=AB﹣AR=2AC﹣2AE
∴AC﹣AE=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某房產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司對(duì)一幢住宅樓的標(biāo)價(jià)是:基價(jià)2580元/平方米,樓層差價(jià)如下表:
老王買(mǎi)了面積為80平方米的三樓.
(1)問(wèn)老王花了多少錢(qián)?
(2)若他用同樣多的錢(qián)去買(mǎi)六樓,請(qǐng)你幫老王算一算他可以多買(mǎi)多少平方米的房子?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題情景:
如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B為二次函數(shù)y=ax2(a>0)圖象上的兩點(diǎn),且點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>n>0),連接OA、AB、OB.設(shè)△AOB的面積為S時(shí),解答下列問(wèn)題:
(1)探究:當(dāng)a=1時(shí),
mn | m﹣n | S | |
m=3,n=1 | 3 | 2 | |
m=5,n=2 | 10 | 3 |
當(dāng)a=2時(shí),
2mn | m﹣n | S | |
m=3,n=1 | 6 | 2 | |
m=5,n=2 | 20 | 3 |
(2)歸納證明:對(duì)任意m、n(m>n>0),猜想S=(用a,m,n表示),并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:
若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為m、n(m>0>n),其它條件不變時(shí),△AOB的面積S=(用a,m,n表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)F,H是邊BC的中點(diǎn),連接 DH與 BE相交于點(diǎn) G,若GE=3,則BF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn) D,E分別在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC,過(guò)E作EF⊥AB于F.
(1)求證:∠FED=∠CED;
(2)若 BF=,直接寫(xiě)出 CE的長(zhǎng)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的中線,E,F分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE=DF,連接BF,CE,下列說(shuō)法:①△ABD 和△ACD面積相等;②∠BAD=∠CAD;③△BDF≌△CDE;④BF∥CE;⑤CE=AE.其中正確的是( )
A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市三景區(qū)是人們節(jié)假日游玩的熱點(diǎn)景區(qū),某學(xué)校對(duì)九(1)班學(xué)生“五一”小長(zhǎng)假隨父母到這三個(gè)景區(qū)游玩的計(jì)劃做了全面調(diào)查,調(diào)查分四個(gè)類別,A:三個(gè)景區(qū);B:游兩個(gè)景區(qū);C:游一個(gè)景區(qū);D:不到這三個(gè)景區(qū)游玩,現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完全的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下:
請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)九(1)班現(xiàn)有學(xué)生人,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“B類別”的扇形的圓心角的度數(shù)為;
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校九年級(jí)有1000名學(xué)生,求計(jì)劃“五一”小長(zhǎng)假隨父母到這三個(gè)景區(qū)游玩的學(xué)生多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為 1,CD⊥AB 于點(diǎn) D,E 為射線 CD 上一點(diǎn),以BE為邊在 BE 左側(cè)作等邊△BEF,則DF的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在哈市地鐵一號(hào)線施工建設(shè)中,安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成大連北路至新疆大街路段的鐵軌鋪設(shè)任務(wù),該路段全長(zhǎng)3600米.已知甲隊(duì)每天鋪設(shè)鐵軌的米數(shù)是乙隊(duì)每天鋪設(shè)鐵軌米數(shù)的1.5倍,并且甲、乙兩隊(duì)分別單獨(dú)完成600米長(zhǎng)度路段時(shí),甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天.
(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)鐵軌多少米?
(2)若甲隊(duì)每天施工的費(fèi)用為4萬(wàn)元,乙隊(duì)每天施工的費(fèi)用為3萬(wàn)元,要使甲、乙兩隊(duì)合作完成大連北路至新疆大街全長(zhǎng)3600米的總費(fèi)用不超過(guò)520萬(wàn)元,則至少應(yīng)安排甲隊(duì)施工多少天?
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