【題目】如圖,等邊△ABC的邊長為 1,CD⊥AB 于點 D,E 為射線 CD 上一點,以BE為邊在 BE 左側(cè)作等邊△BEF,則DF的最小值為_____.
【答案】
【解析】
首先證明△CBE≌△ABF,推出∠BAF=∠BCE,由CA=CB,CD⊥AB,推出∠BCE=∠ACB=30°,AD=BD=4,推出∠BAF=30°=定值,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)DF⊥AF時,DF的值最。
如圖,
∵△ABC,△BEF的是等邊三角形,
∴AB=BC,BF=BE,∠ABC=∠ACB=∠EBF=60°,
∴∠CBE=∠ABF,
在△BCE和△BAF中,
,
∴△CBE≌△ABF(SAS),
∴∠BAF=∠BCE,
∵CA=CB,CD⊥AB,
∴∠BCE=∠ACB=30°,AD=BD=,
∴∠BAF=30°是定值,
∴根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)DF⊥AF時,DF的值最小,
∴DF的最小值=AD=.
故答案為.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=70°∠B=50°,點D,E分別為AB,AC上的點,沿DE折疊,使點A落在BC邊上點F處,若△EFC為直角三角形,則∠BDF的度數(shù)為______.
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【題目】閱讀下列材料,然后解決問題:和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用,截長法與補短法在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應(yīng)用.具體的做法是在某條線段上截取一條線段等于某特定線段,或?qū)⒛硹l線段延長,使之與某特定線段相等,再利用全等三角形的性質(zhì)等有關(guān)知識來解決數(shù)學(xué)問題.
(1)如圖1,在△ABC中,若 AB=12,AC=8,求 BC邊上的中線AD的取值范圍.
解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使 DE=AD,再連接 BE,把AB、AC、2AD集中在△ABE中.利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線 AD的取值范圍是_______.
問題解決:
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,E、F分別是邊BC,CD上的兩點,且∠EAF=∠BAD,求證:BE+DF=EF.
問題拓展:
(3)如圖3,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,點D是△ABC 外角平分線上一點,DE⊥AC交 CA延長線于點E,F(xiàn)是 AC上一點,且DF=DB.
求證:AC﹣AE=AF.
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【題目】計算下列各題
(1)3b﹣2a2﹣(﹣4a+a2+3b)+a2;
(2)﹣13﹣(1﹣)××[2﹣(﹣3)2];
(3)﹣|﹣23|+15﹣|4.5﹣(﹣2.5)|;
(4)89′25″﹣48′58″;
(5)化簡求值:5(3a2b﹣ab2)﹣(ab2+3a2b),其中a=,b=.
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【題目】如圖,直線SN⊥直線WE,垂足是點O,射線ON表示正北方向,射線OE表示正東方向.已知射線OB的方向是南偏東m°,射線OC的方向是北偏東n°,且m°的角與n°的角互余.
(1)寫出圖中與∠BOE互余的角: .
(2)若射線OA是∠BON的角平分線,探索∠BOS與∠AOC的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】(1)已知多項式x2ym+1+xy2-2x3+8是六次四項式,單項式-x3ay5-m的次數(shù)與多項式的次數(shù)相同,求m,a的值;
(2)已知多項式mx4+(m-2)x3+(2n+1)x2-3x+n不含x2和x3的項,試寫出這個多項式,再求當(dāng)x=-1時多項式的值.
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【題目】張明和李強兩名運動愛好者周末相約到東湖綠道進(jìn)行跑步鍛煉.(1)周日早上6點,張明和李強同時從家出發(fā),分別騎自行車和步行到離家距離分別為4.5千米和1.2千米的綠道落雁島入口匯合,結(jié)果同時到達(dá),且張明每分鐘比李強每分鐘多行220米,求張明和李強的速度分別是多少米/分?
(1)兩人到達(dá)綠道后約定先跑 6 千米再休息,李強的跑步速度是張明跑步速度的m倍,兩人在同起點,同時出發(fā),結(jié)果李強先到目的地n分鐘.
①當(dāng)m=12,n=5時,求李強跑了多少分鐘?
②張明的跑步速度為 米/分(直接用含m,n的式子表示).
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【題目】將一副三角板按如圖放置,則下列結(jié)論:
①如果∠2=30°,則有AC∥DE;
②∠BAE+∠CAD =180°;
③如果BC∥AD,則有∠2=45°;
④如果∠CAD=150°,必有∠4=∠C;
正確的有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,AB=AC,點E是BD上一點,且AE=AD,∠EAD=∠BAC.
⑴ 求證:∠ABD=∠ACD;
⑵ 若∠ACB=65°,求∠BDC的度數(shù).
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