Question

【題目】如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）已知⊙O的半徑為，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC=∠OAC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO=∠ACO，等量代換得到∠DAC=∠ACO，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠OCP=90°，于是得到結(jié)論；

（2）設PB=x，PC=2x，根據(jù)勾股定理得到PC=，求得AP=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）連接OC，

∵AC平分∠EAP，

∴∠DAC＝∠OAC，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠DAC＝∠ACO，

∴AE∥OC，

∴∠E＝∠OCP＝90°

∴PE是⊙O的切線；.

（2）∵PB：PC＝1：2，

∴設PB＝x，PC＝2x，

∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（+x）2，

∴x＝，.

∴PC＝，PB＝，

∴AP＝，.

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴

∴AE＝4．