Question

有兩個有理數a、b（b≠0），規(guī)定一種新的運算“*”：a*b=a+

1

b

．
例如：1*2=1+

1

2

=

3

2

，2*3=2+

1

3

=

7

3

，-3*6=-3+

1

6

=-

17

6

．
（1）請仿照上例計算下列各題：①3*5；②-4*3；③（1*2）*3；④1*（2*3）；
（2）通過計算，請回答：
①“*”運算是否滿足（m*n）*x=m*（n*x）；
②當m、n為何值時，滿足m*n=n*m．

Answer 1

分析：（1）根據運算的規(guī)定：a*b=a+

1

b

，依此列式計算即可．
（2）①“*”運算是否滿足（m*n）*x=m*（n*x），根據運算的規(guī)定分別進行計算，看結果是否相等即可作出判斷；
②得到關于m，n的等式，即可求解．

解答：解：（1）①3*5=3+

1

5

=

16

5

；
②-4*3=-4+

1

3

=-

11

3

；
③（1*2）*3
=（1+

1

2

）*3
=

3

2

+

1

3

=

11

6

；
④1*（2*3）
=1*（2+

1

3

）
=1*

7

3

=1+

3

7

=

10

7

；

（2）①（m*n）*x
=（m+

1

n

）*x
=

mn+1

n

*x
=

mn+1

n

+

1

x

=

mnx+x+n

nx

，
m*（n*x）；
=m*（n+

1

x

）
=m*

nx+1

x

=m+

nx+1

x

=

mx+nx+1

x

；
故“*”運算不滿足（m*n）*x=m*（n*x）；
②m+

1

n

=n+

1

m

，
（m-n）+

1

n

-

1

m

=0，
（m-n）+

m-n

mn

=0，

(mn+1)(m-n)

mn

=0，
故當m=n≠0或mn=-1時，滿足m*n=n*m．

點評：本題考查學生的閱讀能力與知識的遷移能力．能夠理解新運算的規(guī)定是解決本題的關鍵．