Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是過A的一條直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求證：

（1）當直線l繞點A旋轉到如圖1位置時，試說明：DE=BD+CE．

（2）若直線l繞點A旋轉到如圖2位置時，試說明：DE=BD﹣CE．

（3）若直線l繞點A旋轉到如圖3位置時，試問：BD與DE，CE具有怎樣的等量關系？請寫出結果，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）DE=CE﹣BD

【解析】

(1) 利用條件證明△ABD≌△CAE, 再結合線段的和差可得出結論;

(2) 同 (1) 可證明△ABD≌△CAE, 再結合線段的和差可得出結論;

(3) 同理可證明△ABD≌△CAE, 再結合線段的和差可得出結論.

（1）證明：如圖1，∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∴∠ABD+∠DAB=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE．

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（2）如圖2，∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∴∠ABD+∠DAB=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE

∵DE=AE﹣AD，

∴DE=BD﹣CE．

（3）DE=CE﹣BD

如圖3，∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∴∠ABD+∠DAB=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD=CE，BD=AE

∵DE=AD﹣AE，

∴DE=CE﹣BD．