Question

【題目】已知直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N．

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段MN的長(zhǎng)；

（3）拋物線y=﹣x2+bx+c在直線AB上平移，是否存在點(diǎn)M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5x﹣；（2）2；（3）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（4，3）．

【解析】試題分析：（1）①首先求得直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的公式即可求解；

②N在直線上同時(shí)在二次函數(shù)上，因而設(shè)N的橫坐標(biāo)是a，則在兩個(gè)函數(shù)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，據(jù)此即可求得a的值，即N的坐標(biāo)，過(guò)N作NC⊥x軸，垂足為C，利用勾股定理即可求得MN的長(zhǎng)；

（2）△AOB的三邊長(zhǎng)可以求得OB=2OA，AB邊上的高可以求得是，拋物線y=-x2+bx+c在直線AB上平移，則MN的長(zhǎng)度不變，根據(jù)（1）的結(jié)果是2，MN是AB邊上的高的二倍，當(dāng)OM⊥AB或ON⊥AB時(shí)，兩個(gè)三角形相似，據(jù)此即可求得M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）①∵直線y=2x-5與x軸和y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴A(，0)，B（0，-5）．

當(dāng)頂點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，

∴M(，0)．

∴拋物線的解析式是：y＝(x)2．即y＝x2+5x．

②∵N在直線y=2x-5上，設(shè)N（a，2a-5），又N在拋物線y＝x2+5x上，

∴2a5＝a2+5a．

解得a1＝，a2＝（舍去）

∴N(，4)．

過(guò)N作NC⊥x軸，垂足為C．

∵N(，4)，

∴C(，0)．

∴NC=4．MC＝OMOC＝＝2．

∴MN＝；

（2）設(shè)M（m，2m-5），N（n，2n-5）．

∵A(，0)，B（0，-5），

∴OA=，OB=5，則OB=2OA，AB=，

當(dāng)∠MON=90°時(shí)，∵AB≠M(fèi)N，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，

∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意．

當(dāng)∠OMN=90°時(shí)， ，即，解得OM=，

則m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，

∴M（2，-1）；

當(dāng)∠ONM=90°時(shí)， ，即，解得ON=，

則n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，

∵OM2=ON2+MN2，

即m2+（2m-5）2=5+（2）2，

解得m=4，

則M的坐標(biāo)是M（4，3）．

故M的坐標(biāo)是：（2，-1）或（4，3）．