Question

木匠黃師傅用長AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設計了四種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：圓心O₁，O₂分別在CD，AB上，半徑分別是O₁C，O₂A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；
方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面，并利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓。
（1）寫出方案一中的圓的半徑；
（2）通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？
（3）在方案四中，設CE=（），圓的半徑為，
①求關于的函數(shù)解析式；
②當取何值時圓的半徑最大？最大半徑是多少？并說明四種方案中，哪一個圓形桌面的半徑最大？

Answer 1

（１）方案一中圓的半徑為１
（２）方案三的圓半徑較大
(3) ①當0<x<時，y=
當時，
②當時，y最大，y最大=，
四種方案中，第四種方案圓形桌面的半徑最大。

試題分析：（1）圓的直徑就是BC的長
方案二：連Ｏ_１Ｏ_２，作ＥＯ_１⊥ＡＢ于Ｅ，然后利用勾股定理即可得
方案三：連ＯＧ，然后利用△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ即可得
（3）分情況討論：分0<x<與這兩種情況進行分析
試題解析：（１）方案一中圓的半徑為１
（２）方案二
如圖，連Ｏ_１Ｏ_２，作ＥＯ_１⊥ＡＢ于Ｅ，設Ｏ_１Ｅ＝Ｘ，

那么（２Ｘ）^２＝２^２＋（３－２Ｘ）^２，解得Ｘ＝
方案三
連ＯＧ，∴ＯＧ⊥ＣＤ，∵∠Ｄ＝９０°，∴ＯＧ／／ＤＥ
∴△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ，∴
設ＯＧ＝ｙ，∴,∴y=，∴方案三的圓半徑較大
(3) ①當0<x<時，y=

當時，
②當時，y最大，y最大=，
四種方案中，第四種方案圓形桌面的半徑最大。