Question

如圖，已知A（3，0），B，動點P、Q同時從O、B兩點出發(fā)，分別沿OA、BO方向勻速移動，它們的速度均為每秒1個單位，當點P到達點A時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）設(shè)△OPQ的面積為y個平方單位，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當t為何值時，QP²有最小值？最小值是多少？
（3）是否存在某個時刻t，能使△OPQ的面積為個平方單位？若存在，求出相應(yīng)的t值，并判斷△OPQ的形狀；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件表示出QC、OP的長，然后表示出三角形的面積即可；
（2）在直角三角形利用勾股定理求得QP的平方，然后利用配方法求得其最小值即可；
（3）表示出三角形BPQ的面積，然后利用直角三角形的性質(zhì)求出相應(yīng)的時間即可．
解答：解：（1）如圖，過點B作BM⊥OA于點M，在Rt△QOM中，
，
所以∠BOA=60°．又OP=t，BQ=t，則QO=3-t，…（3分）
過點Q作QC⊥OA于點C，則在Rt△QOC中，，
所以．               …（5分）

（2）在Rt△QOC中，
在Rt△QPC中，，PC²+QC²=QP²，
∴=…（8分）
∵，∴當時，QP²有最小值，最小值是．…（10分）

（3）∵，
∴，即t²-3t+2=0，
解得t₁=1，t₂=2經(jīng)檢驗，t₁、t₂都符合題意．
故存在某個時刻即當 t=1s或t=2s時，能使△OPQ的面積為．…（12分）
①當t=1時，OP=1，QO=2，則 ，所以點P與點C重合，因此△OPQ為直角三角形；
②當t=2時，OP=2，QO=1，則QP²=3×2²-9×2+9=3，所以QO²+QP²=OP²，因此△OPQ為直角三角形．
綜上，當t=1s或t=2s時，△OPQ為直角三角形．      …（14分）
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的最值、直角三角形的判定、圖形面積的求法、勾股定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．