【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過A(1,0),B(7,0)兩點,交y軸于D點,以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC.

(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上是否存在點M,是SABM= SABC?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,E是線段AC上的動點,F(xiàn)是線段BC上的動點,AF與BE相交于點P.
①若CE=BF,試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù),并說明理由;
②若AF=BE,當點E由A運動到C時,請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長.

【答案】
(1)解:將點A(1,0),B(7,0)代入拋物線的解析式得:

解得:a= ,b=﹣2.

∴拋物線的解析式為y= x2﹣2x+


(2)解:存在點M,使得SABM= SABC

理由:如圖所示:過點C作CK⊥x軸,垂足為K.

∵△ABC為等邊三角形,

∴AB=BC=AC=6,∠ACB=60°.

∵CK⊥AB,

∴KA=BK=3,∠ACK=30°.

∴CK=3

∴SABC= ABCK= ×6×3=9

∴SABM= ×9 =12.

設(shè)M(a, a2﹣2a+ ).

AB|y|=12,即 ×6×( a2﹣2a+ )=12,

解得:a1=9,a2=﹣1.

∴點M的坐標為(9,4)或(﹣1,4).


(3)解:①結(jié)論:AF=BE,∠APB=120°.

∵△ABC為等邊三角形,

∴BC=AB,∠C=∠ABF.

∵在△BEC和△AFB中 ,

∴△BEC≌△AFB.

∴AF=BE,∠CBE=∠BAF.

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°.

∴∠APB=180°﹣60°=120°.

②當AE≠BF時,由①可知點P在以AB為直徑的圓上,過點M作ME⊥AB,垂足為E.

∵∠APB=120°,

∴∠N=60°.

∴∠AMB=120°.

又∵ME⊥AB,垂足為E,

∴AE=BE=3,∠AME=60°.

∴AM=2

∴點P運動的路徑= =

當AE=BF時,點P在AB的垂直平分線上時,如圖所示:過點C作CK⊥AB,則點P運動的路徑=CK的長.

∵AC=6,∠CAK=60°,

∴KC=3

∴點P運動的路徑為3

綜上所述,點P運動的路徑為3


【解析】(1)將點A、B兩點坐標代入函數(shù)解析式,建立方程組,即可求出拋物線的解析式。
(2)已知△ABC為等邊三角形,要求此三角形的面積,添加輔助線,過點C作CK⊥x軸,求出△ABC的高CK的長,就可以求出△ABC的面積;根據(jù)SABM 和SABC的關(guān)系,求出SABM的值,由點M在x軸上方的拋物線上,設(shè)出點M的坐標,根據(jù)SABM=12,建立方程,即可求出點M的坐標。
(3)①根據(jù)已知,易證得△BEC≌△AFB.可得AF=BE,∠CBE=∠BAF.再求出∠FAB+∠ABP的度數(shù),即可求得∠APB度數(shù);②分兩種情況:當AE≠BF時,由①可知點P在以AB為直徑的圓上,過點M作ME⊥AB,垂足為E.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補,求出∠N的度數(shù),根據(jù)圓周角定理,求出∠AMB的度數(shù),然后過點E作ME⊥AB,垂足為E,就可以求出AM的長,即可求出點P的運動路徑長;當AE=BF時,點P在AB的垂直平分線上時,如圖所示:過點C作CK⊥AB,則點P運動的路徑=CK的長,在Rt△AKC中,易求出KC的長。
【考點精析】關(guān)于本題考查的解直角三角形,需要了解解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案.

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