Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，BM，DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足
，連結(jié)MC，NC，MN．

小題1:（1）填空：與△ABM相似的三角形是△       ，=        ；（用含a的代數(shù)式表示）
小題2:（2）求的度數(shù)；
小題3:（3）猜想線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

小題1:（1）與△ABM相似的三角形是△NDA，
小題2:（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．………………3分
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC，DA= BC，．
∴．
∵ BM，DN分別平分正方形ABCD的兩個(gè)外角，
∴．
∴△BCM∽△DNC．…………………………………………………………4分
∴．
∴
．
小題3:（3）線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系是．
（只猜想答案不證明不給分）
證法一：如圖9，將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接MF．則   
          △ABF≌△ADN．…………………………………………………6分
∴，AF=AN，BF=DN，．
∴．
∴．
又∵ AM= AM，
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得．
∴在Rt△BMF中，．
∴．…………………………………………7分
證法二：連接BD，作ME∥BD，與DN交于點(diǎn)E．（如圖10）
可知，．……………………………………6分
∵ ME∥BD，
∴．
∵，
∴四邊形BDEM是矩形．
∴ME=BD，BM=DE．
在Rt△MEN中，，
∴  
．

略