Question

如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標(biāo)）；

（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．

Answer 1

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x²+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函數(shù)的表達式為：y=x²﹣4x+3；

（2）令y=0，則x²﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=3，

點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，

①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P₁（0，3+3），P₂（0，3﹣3）；

②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3，

∴P₃（﹣3，0）；

③當(dāng)BP=BC時，

∵OC=OB=3

∴此時P與O重合，

∴P₄（0，0）；

綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，

∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t²+2t=﹣（t﹣1）²+1，

當(dāng)點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，試求出最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．