【題目】如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點OAD上一動點(4OA8),以O為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點E,連接OEAE,過點E作⊙O的切線交邊BCF

1)求證:ODE∽△ECF

2)在點O的運動過程中,設(shè)DE=

①求的最大值,并求此時⊙O的半徑長;

②判斷CEF的周長是否為定值,若是,求出CEF的周長;否則,請說明理由?

【答案】(1)證明見解析;(2)①5;②16.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°,根據(jù)∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC,最后根據(jù)∠D=∠C即可證出△ODE∽△ECF;

(2)①根據(jù)△ODE∽△ECF,得出ODCF=DEEC,設(shè)DE=x,得出ODCF=-(x-4)2+16,從而求出最大值,設(shè)此時半徑為r,根據(jù)OD2+DE2=OE2,得出(8-r)2+42=r2,解方程即可;

②在RtODE中,根據(jù)OD2+DE2=OE2,OA=OE,得出(8-OE)2+x2=OE2,求出OE=4+,OD=4-,根據(jù)RtDOERtCEF,得出,代入得出CF=,EF=,最后根據(jù)△CEF的周長=CE+CF+EF代入計算即可得出△CEF的周長=16,是定值.

試題解析:(1)證明:∵EF切⊙O于點M,

∴∠OEF=90°,

∴∠OED+∠CEF=90°,

∵∠C=90°,

∴∠CEF+∠CFE=90°,

∴∠OED=∠EFC,

∵∠D=∠C=90°,

∴△ODE∽△ECF;

(2)解:①由(1)知:△ODE∽△ECF,

,

∴ODCF=DEEC,

∵DE=x,

∴EC=8-x,

∴ODCF=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,

x=4時,ODCF的值最大,最大值為16,

設(shè)此時半徑為r,則OA=OE=r,OD=8-r,

Rt△ODE中,

∵OD2+DE2=OE2,

∴(8-r)2+42=r2,

解得r=5,

即此時半徑長為5;

②△CEF的周長為定值,△CEF的周長=16,

Rt△ODE中,OD2+DE2=OE2,OA=OE,

即:(8-OE)2+x2=OE2,

OE=4+,OD=8-OE=4-,

∵Rt△DOE∽Rt△CEF,

,

,

解得:CF=,EF=,

∴△CEF的周長=CE+CF+EF=8-x++=16.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

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(1)求張老師借款后第一個月應(yīng)還款的數(shù)額;

(2)假設(shè)貸款月利率不變請寫出張老師借款后第n(n是正整數(shù))個月還款數(shù)額pn之間的函數(shù)解析式(不必化簡);

(3)(2)的條件下求張老師20167月份應(yīng)還款數(shù)額.

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