Question

如圖1，一條拋物線與軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與軸交于點C，且當x=－1和x=3時，的值相等．直線與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．

(1)求這條拋物線的表達式．

(2)動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設(shè)運動時間為秒．

①若使△BPQ為直角三角形，請求出所有符合條件的值；

②求為何值時，四邊形ACQ P的面積有最小值，最小值是多少？

(3)如圖2，當動點P運動到OB的中點時，過點P作PD⊥軸，交拋物線于點D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿軸向左平移個單位長度（），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為，求與的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

 解：(1) ∵當和時，的值相等，∴拋物線的對稱軸為直線，把和分別代入中，得頂點，另一個交點坐標為(6，6)， ····································································· 2分

則可設(shè)拋物線的表達式為，將(6，6)代入其中，解得，

∴拋物線的表達式為，即．··············································· 3分

 (2)如圖1，當時， 解得 ．由題意知，A(2，0)，B(4，0)，

所以OA=2，OB=4；當時，，所以點C(0，－3)，OC=3，由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=．···································································································· 4分

①∵∠PBQ是銳角，

∴有∠PQB=90º或∠BPQ=90º兩種情況：

當∠PQB=90º時， 可得△PQB∽△COB，

∴，∴，

∴；······························································· 5分

當∠BPQ=90º時， 可得△BPQ∽△BOC，

 ∴，∴，

∴．····························································· 6分

由題意知，

∴當或時，以B，P，Q為頂點的三角形是直角三角形． ······································ 7分

②如圖1，過點Q作QG⊥AB于G， ∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，∴，····································································································· 8分

∴S_{四邊形ACQP}=S_△ABC- S_△BPQ==

==．

∵＞0， ∴四邊形ACQP的面積有最小值， 又∵滿足，

∴當時，四邊形ACQP的面積最小，最小值是． ····················································· 10分

(3)如圖2，由OB=4得OP=2， 把代入中，得，所以D（2， －3），直線CD∥x軸，設(shè)直線OD的解析式為，則，所以，因為△P₁O₁D₁是由△POD 沿x軸向左平移m個單位得到的，

所以P₁（2－m，0），D₁(2－m， －3)，E（2－m，）．··········································· 11分

設(shè)直線OM的解析式為，則，所以．

①當時，作FH⊥軸于點H，由題意O₁(－m，0)，又O₁D₁∥OD，所以直線O₁D₁的解析式為．

聯(lián)立方程組，解得，

所以，所以FH=，

S_{四邊形OFD1E}=S_□OO1D1D-S_△OO1F-S_△DD1E

=

==．········································································· 13分

②如圖3，當時，設(shè)D₁P₁交OM于點F，直線OM的解析式為，所以，所以，

∴S_△OEF===

綜上所述，．