Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD, CD=6，BC=4，∠ABD =∠C，P是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)C點(diǎn)D重合),且滿足條件:∠BPE =∠C, 交BD于點(diǎn)E.

（1） 求證：△BCP∽△PDE；

（2）如果CP= x , BE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，△BPE能否成為等腰三角形，若能，求 x的值 ，若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2） （3）當(dāng)x=2或 時(shí)，△BPE為等腰三角形

【解析】（1）根據(jù)已知條件先得出∠BPD =∠PBC+∠C，然后求出∠PBC =∠EPD即可得證；

（2）由（1）的結(jié)論得出，把CP= x ,，BE=y，BD=BC=4，CD=6代入此式即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）分當(dāng)BP=PE，則△BCP≌△PDE，求出x，當(dāng)BE=PE，證出△BEP∽△CBD求出x；當(dāng)BP=BE，可推出∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.

解：(1)證明:因?yàn)?/span>AB∥DC，所以∠ABD=∠BDC

因?yàn)椤?/span>ABD =∠C，所以∠BDC =∠C

因?yàn)椤?/span>BPD =∠BPE+∠EPD

∠BPD =∠PBC+∠C

又因?yàn)椤?/span>BPE =∠C

所以∠PBC =∠EPD

所以△BCP∽△PDE

(2) 因?yàn)椤?/span>BCP∽△PDE

所以,

因?yàn)?/span>CP= x , BE=y，BD=BC=4,CD=6

所以DP= 6 - x , DE= 4 – y

所以,

所以

(3)(ⅰ)若BP=PE，則△BCP≌△PDE，

所以PD=BC=4,所以x=2

(ⅱ)若BE=PE，則∠BPE=∠PBE=∠C=∠CDB，

所以△BEP∽△CBD，PE：PB=BC：CD=2：3

又因?yàn)?/span>PD：BC=PE：PB

即（6-x）：4=2：3，

所以x=

(ⅲ)若BP=BE，則∠BPE=∠PEB>∠CDB，矛盾.

所以，當(dāng)x=2或時(shí)，△BPE為等腰三角形.

“點(diǎn)睛”此題考查了相似三角形的判定（平行于三角形一邊的直線截另兩邊所得三角形與原三角形相似）與性質(zhì)（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）．此題很簡單，解題時(shí)要注意細(xì)心．