Question

【題目】如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，．

（1）在圖1中，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，與相交于點(diǎn)P，連接，求證：是等腰三角形．

（2）猜想與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）如圖2，將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度角（）．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在為等腰三角形的情況？如果存在，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；如果不存在，直接作出判斷，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）①是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②存在，旋轉(zhuǎn)的角度為或．

【解析】

（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得和的度數(shù)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可得證；

（2）如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的三線合一、直角三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)即可得；

（3）①先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差得出，從而可得垂直平分EF，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，又根據(jù)（2）的結(jié)論、等腰三角形的三線合一可得垂直平分AB，從而可得，最后根據(jù)等量代換可得，由此即可得出結(jié)論；

②根據(jù)等腰三角形的定義，分、和，先確定點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而可得為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E、F的位置，再結(jié)合①的結(jié)論，三角形全等的判定定理與性質(zhì)求解即可得．

（1），點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，

，

四邊形ABCD是正方形

是等腰三角形；

（2），理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則

四邊形ABCD是正方形

是等腰直角三角形斜邊上的中線（等腰三角形的三線合一）

在中，

四邊形OFHG是平行四邊形

平行四邊形OFHG是矩形

；

（3）①是等邊三角形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

由正方形的性質(zhì)得：，，

，即平分

是等腰三角形

垂直平分EF（等腰三角形的三線合一）

如圖，連接OE、AE，延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)M

由（2）可知，

是等腰三角形

垂直平分AB（等腰三角形的三線合一）

是等邊三角形；

②根據(jù)等腰三角形的定義，分以下三種情況：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，為等腰三角形

由①可知，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，為等腰三角形

如圖，由題意可知，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)D為圓心，DA長(zhǎng)為半徑的圓上

過(guò)點(diǎn)O作的平行線，交圓D于點(diǎn)P

由①可知，

由三角形的三邊關(guān)系定理得：

則以點(diǎn)B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與圓D必相交于兩點(diǎn)，即點(diǎn)P、Q

即只有當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P或點(diǎn)Q時(shí)，才有

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P時(shí)，由①可知，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí)，連接BQ、CQ、DQ

則

由①可知，為等邊三角形，

，

在和中，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，

則此時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為

故此時(shí)或

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，為等腰三角形

同（ⅱ）可得：此時(shí)或

綜上，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，存在為等腰三角形的情況，此時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度為或．