Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，1)，直線l：y＝+b與圖象G交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求k的值；

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．記圖象G在點(diǎn)A，B之間的部分與線段OA，OC，BC圍成的區(qū)域（不含邊界）為W．

①當(dāng)b＝﹣1時(shí)，直接寫(xiě)出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①3個(gè)，②﹣≤b＜﹣1或＜b≤

【解析】

（1）把A（4，1）代入y＝中可得k的值；

（2）直線OA的解析式為：y＝x，可知直線l與OA平行，

①將b＝﹣1時(shí)代入可得：直線解析式為y＝x﹣1，畫(huà)圖可得整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

②分兩種情況：直線l在OA的下方和上方，畫(huà)圖根據(jù)區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，確定b的取值范圍．

（1）把A（4，1）代入y＝得k＝4×1＝4；

（2）①當(dāng)b＝﹣1時(shí)，直線解析式為y＝x﹣1，

解方程＝x﹣1得x1＝2﹣2（舍去），x2＝2+2，則B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如圖1所示，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有（1，0），（2，0），（3，0），有3個(gè)；

②如圖2，直線l在OA的下方時(shí)，

當(dāng)直線l：y＝+b過(guò)（1，﹣1）時(shí)，b＝﹣，

且經(jīng)過(guò)（5，0），

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1．

如圖3，直線l在OA的上方時(shí)，

∵點(diǎn)（2，2）在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象G，

當(dāng)直線l：y＝+b過(guò)（1，2）時(shí)，b＝，

當(dāng)直線l：y＝+b過(guò)（1，3）時(shí)，b＝，

∴區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是＜b≤．

綜上所述，區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．