Question

如圖，已知拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過A(-1, 0)、B(4, 5)兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y=x²-2x-3．（2），（3）、、、．

解析試題分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H，根據(jù)勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），在分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即可．
試題解析：：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，得
，
解得b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB=．
如圖1，過點(diǎn)O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°=1×=，
∴BH=AB-AH=，
在Rt△BOH中，tan∠ABO=．
（3）直線AB的解析式為：y=x+1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x+1），
如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí)，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，得x=或x=．
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，得x=或x=．
所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)，其橫坐標(biāo)分別為：、、、．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．