【題目】己知:在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,以AC為邊作等邊三角形ACE,直線BE交直線AD于點(diǎn)F,連接FC.
(1)如圖1,120°<∠BAC<180°,△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè),且FC交AE于點(diǎn)M.
①求證:∠FEA=∠FCA;
②猜想線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論:
(2)當(dāng)60°<∠BAC<120°,且△ACE與△ABC在直線AC的同側(cè)時(shí),利用圖2畫(huà)出圖形探究線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.
【答案】
(1)
解:①∵AD⊥BC,AB=AC,
∴BD=DC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB,
∴AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠FBA=∠FCA,
∵以AC為邊作等邊三角形ACE,
∴AE=AC=AB,
∴∠ABF=∠AEF,
∴∠ACF=∠AEF,
即:∠FEA=∠FCA;
②結(jié)論:EF=FA+AD,
∵以AC為邊作等邊三角形ACE,
∴∠EAC=60°,
由①有,∠ACF=∠AEF,
∴∠EFC=∠EAC=60°,
由①得,BF=CF,F(xiàn)D⊥BC,
∴∠BFD=∠CFD,
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°,
∴∠BFD=∠CFD= =60°,
∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°,
∴∠ACD+∠ACF=30°,
∴∠ECF=∠ECA﹣∠ACF=60°﹣∠ACF=60°﹣(30°﹣∠ACD)=30°+∠ACD,
如圖1,
延長(zhǎng)AD,在AD上截取AD=DK,連接CK,
∵AD⊥BC,
∴∠ACD=∠KCD,CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD,
∴∠FCK=∠ECF,
∵AC=CE,AC=CK,
∴CK=CE,
在△CFE和△CFK中, ,
∴△CFE≌△CFK,
∴FE=FK=FD+DK,
∵AD=DK,
∴FE=FD+AD;
(2)
解:結(jié)論:EF=FA+AD,
如圖2,
∵以AC為邊作等邊三角形ACE,
∴∠EAC=60°,
同(2)①的方法有,∠ACF=∠AEF,
∴∠EFC=∠EAC=60°,
同(2)①方法得,BF=CF,F(xiàn)D⊥BC,
∴∠BFD=∠CFD,
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°,
∴∠BFD=∠CFD= =60°,
∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°,
∴∠ACD﹣∠ACF=30°,
∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=60°+∠ACF=60°+(∠ACD﹣30°)=30°+∠ACD,
延長(zhǎng)AD,在AD上截取AD=DK,連接CK,
∵AD⊥BC,
∴∠ACD=∠KCD,CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACD﹣∠ACF+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD,
∴∠FCK=∠ECF,
∵AC=CE,AC=CK,
∴CK=CE,
在△CFE和△CFK中, ,
∴△CFE≌△CFK,
∴FE=FK=FD+DK,
∵AD=DK,
∴FE=FD+AD;
【解析】(1)①利用中垂線得到∠FBC=∠FCB,從而得到∠FBA=∠FCA,再由等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABF=∠AEF即可;②先得到∠EFC=∠EAC=60°,從而判斷出∠ACD+∠ACF=30°,進(jìn)而得出∠FCK=∠ECF,判斷出△CFE≌△CFK,即可;(2)先得到∠EFC=∠EAC=60°,從而判斷出∠ACD﹣∠ACF=30°,進(jìn)而得出∠FCK=∠ECF,判斷出△CFE≌△CFK,即可;
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形三邊關(guān)系,需要了解三角形兩邊之和大于第三邊;三角形兩邊之差小于第三邊;不符合定理的三條線段,不能組成三角形的三邊才能得出正確答案.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
(1)如圖1,點(diǎn)P是ABCD內(nèi)的一點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)B、C、D作AP的垂線BE、CF、DH,垂足分別為E、F、H,猜想BE、CF、DH三者之間的關(guān)系,并證明;
(2)如圖2,若點(diǎn)P在ABCD的外部,△APB的面積為18,△APD的面積為3,求△APC的面積;
(3)如圖3,在(2)的條件下,增加條件:AB=BC,∠APC=ABC=90°,設(shè)AP、BP分別于CD相交于點(diǎn)M、N,當(dāng)DM=CN時(shí), =(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰三角形ABC底邊BC的長(zhǎng)為4cm,面積是12cm2 , 腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F,若D為BC邊上的中點(diǎn),M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),則△BDM的周長(zhǎng)最短為cm.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作直線交AB,CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F(xiàn).當(dāng)BE=CF時(shí),求證:AE=AF.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)如圖1,連DE,求∠BDE的度數(shù);
(2)如圖2,過(guò)E作EF⊥AB于F,求證:∠FED=∠CED;
(3)在(2)的條件下,若BF=2,求CE的長(zhǎng).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后,點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,若∠2=40°,則圖中∠1的度數(shù)為( )
A. 115° B. 120° C. 130° D. 140°
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD交AC于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,∠EBD=∠EDB,∠ABC:∠A:∠C=2:3:7,∠BDC=60°,
(1)試計(jì)算∠BED的度數(shù).
(2)ED∥BC嗎?試說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)若△ABC經(jīng)過(guò)平移后得到△A1B1C1,已知點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(4,0),寫(xiě)出頂點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo),并畫(huà)出△A1B1C1;
(2)若△ABC和△A2B2C2關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形,寫(xiě)出△A2B2C2的各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A3B3C3,寫(xiě)出△A3B3C3的各頂點(diǎn)的坐標(biāo),并畫(huà)出△A3B3C3.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(m , m-n)與點(diǎn)Q(-2,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則點(diǎn)M(m , n)在( 。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com