【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點D,交CA的延長線于點E,過點D作DH⊥AC于點H,連接DE交線段OA于點F.
(1)求證:DH是圓O的切線;
(2)若A為EH的中點,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圓O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角證明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,則DH⊥OD,DH是圓O的切線;
(2)如圖2,先證明∠E=∠B=∠C,則H是EC的中點,設(shè)AE=x,EC=4x,則AC=3x,由OD是△ABC的中位線,得:OD=AC=,證明△AEF∽△ODF,列比例式可得結(jié)論;
(3)如圖2,設(shè)⊙O的半徑為r,即OD=OB=r,證明DF=OD=r,則DE=DF+EF=r+1,BD=CD=DE=r+1,證明△BFD∽△EFA,列比例式為:,則,求出r的值即可.
(1)連接OD,如圖1,∵OB=OD,∴△ODB是等腰三角形,∠OBD=∠ODB①,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB②,由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是圓O的切線;
(2)如圖2,在⊙O中,∵∠E=∠B,∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,∴△EDC是等腰三角形,∵DH⊥AC,且點A是EH中點,設(shè)AE=x,EC=4x,則AC=3x,連接AD,則在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,∵AB=AC,∴D是BC的中點,∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥AC,OD=AC=,∵OD∥AC,∴∠E=∠ODF,在△AEF和△ODF中,∵∠E=∠ODF,∠OFD=∠AFE,∴△AEF∽△ODF,∴,∴ =,∴ =;
(3)如圖2,設(shè)⊙O的半徑為r,即OD=OB=r,∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF,∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF,則∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1,在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,∴BF=BD=r+1,∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1,在△BFD和△EFA中,∵∠BDF=∠EFA,∠B=∠E,∴△BFD∽△EFA,∴,∴,解得:r1=,r2=(舍),綜上所述,⊙O的半徑為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在銳角△ABC中,∠ABC=45°,高線AD、BE相交于點F.
(1)判斷BF與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由;
(2)如圖2,將△ACD沿線段AD對折,點C落在BD上的點M,AM與BE相交于點N,當(dāng)DE∥AM時,判斷NE與AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長為1,格點△ABC(頂點是網(wǎng)格線交點的三角形)的頂點A,C的坐標(biāo)分別為(﹣1,1),(0,﹣2),請你根據(jù)所學(xué)的知識.
(1)在如圖所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;
(2)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的三角形A1B1C1;
(3)判斷△ABC的形狀,并求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若中,,高AD=12cm,則BC的長為( )
A. 14 cm B. 4 cm C. 14cm或4 cm D. 以上都不對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,公路MN和公路PQ在點P處交匯,且∠QPN=30°,點A處有一所中學(xué),AP=160m.若拖拉機行駛時,周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時:
(1)學(xué)校是否會受到噪聲影響?
(2)如果不受影響,請說明理由;如果受影響,已知拖拉機的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒?
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【題目】如圖,在△ABC中,,,直線經(jīng)過點,且于,于.
(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,
①求證:△ADC≌△CEB.
②求證:DE=AD+BE.
(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,判斷和的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點均在格點上.
(1)請按要求畫圖:將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點為B′,點C的對應(yīng)點為C′,連接BB′;
(2)在(1)所畫圖形中,∠AB′B= .
【問題解決】
如圖②,在等邊三角形ABC中,AC=7,點P在△ABC內(nèi),且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面積.
小明同學(xué)通過觀察、分析、思考,對上述問題形成了如下想法:
想法一:將△APC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′B,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系;
想法二:將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△AP′C′,連接PP′,尋找PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
…
請參考小明同學(xué)的想法,完成該問題的解答過程.(一種方法即可)
【靈活運用】
如圖③,在四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k為常數(shù)),求BD的長(用含k的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AB的中點,連接DO并延長交CB的延長線于點E,連接AE、DB.
(1)求證:△AOD≌△BOE;
(2)若DC=DE,判斷四邊形AEBD的形狀,并說明理由.
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