【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,O是AB的中點,連接DO并延長交CB的延長線于點E,連接AE、DB.
(1)求證:△AOD≌△BOE;
(2)若DC=DE,判斷四邊形AEBD的形狀,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形AEBD是矩形.
【解析】
(1)利用平行線得到∠ADO=∠BEO,再利用對頂角相等和線段中點,可證明△AOD≌△BOE;
(2)先證明四邊形AEBD是平行四邊形,再利用對角線相等的平行四邊形的矩形,可判定四邊形AEBD是矩形.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥CE,∴∠ADO=∠BEO.
∵O是BC中點,∴AO=BO.
又∵∠AOD=∠BOE,∴△AOD≌△BOE(AAS);
(2)四邊形AEBD是矩形,理由如下:
∵△AOD≌△BOE,∴DO=EO.
又AO=BO,∴四邊形AEBD是平行四邊形.
∵DC=DE=AB,∴四邊形AEBD是矩形.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點D,交CA的延長線于點E,過點D作DH⊥AC于點H,連接DE交線段OA于點F.
(1)求證:DH是圓O的切線;
(2)若A為EH的中點,求的值;
(3)若EA=EF=1,求圓O的半徑.
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【題目】有這樣一道題“計算:(2m4-4m3n-2m2n2)-(m4-2m2n2)+(-m4+4m3n-n3)的值,其中,n=-1.”小強不小心把錯抄成了,但他的計算結(jié)果卻也是正確的,你能說出這是為什么嗎?
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【題目】在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于點E,A1C1分別交AC、BC于D、F兩點.
(1)如圖1,觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過程中,線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,當α=30°時,試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,在數(shù)軸上有A,B兩點,且AB=8,點A表示的數(shù)為6;動點P從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動,點Q從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動,設(shè)運動時間為t秒.
(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)是 ;
(2)當t=2時,線段PQ的長是 ;
(3)當0<t<3時,則線段AP= ;(用含t的式子表示)
(4)當PQ=AB時,求t的值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC, ,BC=4,DC=3,AD=6.動點P從點D出發(fā),沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個單位長的速度運動,動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動,點P、Q分別從點D,C同時出發(fā),當點Q運動到點B時,點P隨之停止運動.設(shè)運動的時間為t(秒).
(1)設(shè)的面積為,直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式是____________(不寫取值范圍).
(2)當B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形時,求出此時的值.
(3)當線段PQ與線段AB相交于點O,且2OA=OB時,直接寫出=_____________.
(4)是否存在時刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】甲、乙兩城相距1000千米,一輛客車從甲城開往乙城,車速為千米/小時,同時一輛出租車從乙城開往甲城,車速為90千米/小時,設(shè)客車行駛時間為(小時)
(1)當時,客車與乙城的距離為 千米(用含的代數(shù)式表示)
(2)已知,丙城在甲、乙兩城之間,且與甲城相距260千米
①求客車與出租車相距100千米時客車的行駛時間;(列方程解答)
②已知客車與出租車在甲、乙之間的服務(wù)站處相遇時,出租車乘客小王突然接到開會通知,需要立即返回,此時小王有兩種返回乙城的方案:
方案一:繼續(xù)乘坐出租車到丙城,加油后立刻返回乙城,出租車加油時間忽略不計;
方案二:在處換成客車返回乙城.
是通過計算,分析小王選擇哪種方案能更快到達乙城?
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【題目】在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想,下面是運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程,請仔細閱讀,并解答題目后提出的探究問題.
(提出問題)三個有理數(shù)a,b,c,滿足abc>0,求的值.
(解決問題)
解:由題意得:a,b,c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù),另兩個為負數(shù).
①當a,b,c,都是整數(shù),即a>0,b>0,c>0時,則= =1+1+1=3;
②當a,b,c有一個為正數(shù),另兩個位負數(shù)時,設(shè)a>0,b<0,c<0,則= =111=1;
所以的值為3或1.
(探究)請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題:
(1)三個有理數(shù)a,b,c滿足abc<0,求的值;
(2)已知=9,=4,且a<b,求a2b的值.
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